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第1章 复数与复平面1

1.1复数1

1.1.1复数的概念1

1.1.2复数的模与辐角2

1.1.3复数的三角表示与指数表示4

1.2复数的运算及几何意义5

1.2.1复数的加法和减法5

1.2.2复数的乘法和除法6

1.2.3复数的乘方和开方8

1.2.4共轭复数的运算性质10

1.3平面点集12

1.3.1点集的概念12

1.3.2区域13

1.3.3平面曲线14

1.3.4单连通区域与多连通区域14

1.4无穷远点与复球面15

1.4.1无穷远点15

1.4.2复球面15

本章小结16

综合练习题118

自测题119

第2章 解析函数20

2.1复变函数及其相关概念20

2.1.1复变函数的概念20

2.1.2复变函数的极限与连续21

2.2解析函数及其相关概念25

2.2.1复变函数的导数25

2.2.2解析函数的概念27

2.2.3求导运算的法则27

2.3柯西-黎曼条件29

2.3.1函数可导的充分必要条件29

2.3.2函数在区域内解析的充分必要条件31

2.4初等函数33

2.4.1指数函数33

2.4.2对数函数35

2.4.3幂函数37

2.4.4三角函数与反三角函数38

2.4.5双曲函数与反双曲函数40

本章小结41

综合练习题245

自测题247

第3章 复积分48

3.1复变函数的积分48

3.1.1复变函数积分的概念48

3.1.2复积分的存在性及其计算49

3.1.3复积分的基本性质52

3.2柯西-古萨定理及其推广53

3.2.1柯西-古萨定理53

3.2.2柯西-古萨定理的推广54

3.2.3原函数与不定积分56

3.3柯西积分公式和高阶导数公式58

3.3.1柯西积分公式及最大模原理58

3.3.2解析函数的高阶导数61

3.4解析函数与调和函数的关系64

3.4.1调和函数与共轭调和函数的概念64

3.4.2解析函数与共轭调和函数的关系65

本章小结69

综合练习题372

自测题374

第4章 级数76

4.1复数项级数76

4.1.1复数序列的极限76

4.1.2复数项级数77

4.2幂级数80

4.2.1复变函数项级数80

4.2.2幂级数81

4.2.3幂级数的收敛圆与收敛半径82

4.2.4幂级数的性质85

4.3泰勒级数87

4.3.1解析函数的泰勒展开式87

4.3.2几个典型初等函数的泰勒展开式89

4.4洛朗级数91

4.4.1函数在圆环形解析域内的洛朗展开式91

4.4.2函数展开成洛朗级数的间接展开法96

本章小结100

综合练习题4103

自测题4104

第5章 留数及其应用106

5.1孤立奇点和零点106

5.1.1孤立奇点的定义及性质106

5.1.2零点110

5.1.3无穷远点为孤立奇点113

5.2留数115

5.2.1留数及其相关概念115

5.2.2无穷远点的留数118

5.3留数定理120

5.4留数在定积分计算中的应用123

5.4.1形如∫2π 0 R（cosθ，sinθ）dθ的积分123

5.4.2形如∫+∞ -∞ R（x） dx的积分125

5.4.3形如∫+∞ -∞ R（x） e iax dx（a＞0）的积分128

本章小结130

综合练习题5133

自测题5135

第6章 保形映射136

6.1保形映射的概念及其性质136

6.1.1保形映射的概念136

6.1.2几何特性138

6.1.3几个重要的保形映射142

6.2分式线性映射143

6.2.1分式线性映射的定义143

6.2.2分式线性映射的特性146

6.2.3上半平面与单位圆的分式线性映射150

本章小结154

综合练习题6156

自测题6157

第7章 傅里叶变换159

7.1傅里叶变换的概念159

7.1.1傅里叶级数与傅里叶积分公式159

7.1.2傅里叶变换162

7.2单位脉冲函数166

7.2.1单位脉冲函数的概念及其性质166

7.2.2单位脉冲函数的傅里叶变换168

7.3傅里叶变换的性质169

7.3.1基本性质169

7.3.2卷积与卷积定理173

本章小结176

综合练习题7179

自测题7181

第8章 拉普拉斯变换183

8.1拉普拉斯变换的概念183

8.1.1拉普拉斯变换的定义184

8.1.2拉普拉斯变换存在定理185

8.2拉普拉斯变换的性质187

8.2.1线性与相似性187

8.2.2延迟与位移性质188

8.2.3微分性质190

8.2.4积分性质193

8.2.5初值定理和终值定理194

8.2.6卷积与卷积定理196

8.3拉普拉斯逆变换197

8.3.1反演积分公式198

8.3.2利用留数计算像原函数198

8.4拉普拉斯变换的应用201

8.4.1求解常微分方程201

8.4.2实际应用举例203

本章小结204

综合练习题8206

自测题8211

第9章 快速傅里叶变换213

9.1序列傅里叶（SFT）变换213

9.1.1序列傅里叶变换（SFT）及其逆变换（ISFT）的定义213

9.1.2序列傅里叶变换（SFT）的性质214

9.1.3序列傅里叶变换（SFT）的MATLAB实现216

9.2Z变换简介216

9.2.1Z变换的定义216

9.2.2单边Z变换217

9.2.3Z变换及其反变换的计算218

9.3离散傅里叶（DFT）变换218

9.3.1有限序列的离散傅里叶变换218

9.3.2离散傅里叶变换（DFT）与序列傅里叶变换（SFT）的关系220

9.3.3DFT与Z变换的关系221

9.4快速傅里叶变换222

9.4.1时分算法222

9.4.2频分算法227

9.4.3MATLAB的实现231

本章小结232

综合练习题9233

附录235

附录A 区域变换表235

附录B 傅里叶变换简表241

附录C 拉普拉斯变换简表245

附录D Z变换表251

习题参考答案252

参考文献274