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第1章 解析函数1

1.1 复数与复变函数1

1.1.1 复数及其代数运算1

1.1.2 复变函数及其导数7

1.2 解析函数基础理论11

1.2.1 柯西-黎曼条件11

1.2.2 初等解析函数15

1.2.3 解析函数与调和函数19

1.3 用MATLAB实现复数运算21

1.3.1 复数矩阵的运算21

1.3.2 复变函数的运算27

1.4 共形映射39

1.4.1 共形映射的概念39

1.4.2 分式线性函数的映射43

1.4.3 初等解析函数的映射48

1.5 复变函数理论应用举例53

1.5.1 电路分析中的相量53

1.5.2 平面静电场的复势57

思考与练习题59

第2章 复变函数的积分62

2.1 复积分的概念62

2.1.1 复积分的性质和算法62

2.1.2 柯西-古萨定理65

2.1.3 原函数与不定积分67

2.2 柯西公式70

2.2.1 柯西积分公式70

2.2.2 泊松公式72

2.2.3 柯西导数公式73

2.3 用MATLAB软件计算复积分75

2.3.1 直接利用MATLAB软件计算75

2.3.2 变形后利用MATLAB软件计算77

思考与练习题78

第3章 解析函数的级数表示80

3.1 幂级数80

3.1.1 基本概念80

3.1.2 收敛半径的计算82

3.2 泰勒级数83

3.2.1 解析函数的泰勒级数表示83

3.2.2 函数展开成泰勒级数84

3.3 洛朗级数86

3.3.1 洛朗级数的概念86

3.3.2 函数展开成洛朗级数89

思考与练习题95

第4章 留数96

4.1 留数定理96

4.1.1 孤立奇点96

4.1.2 留数和留数定理99

4.1.3 计算留数的方法102

4.2 留数在计算积分中的应用109

4.2.1 计算复积分109

4.2.2 计算实积分111

4.3 对数留数与辐角原理116

4.3.1 对数留数116

4.3.2 辐角原理117

4.3.3 路西定理118

思考与练习题120

第5章 特殊函数与常微分方程的幂级数解121

5.1 用积分定义的特殊函数121

5.1.1 Γ函数与B函数121

5.1.2 脉冲函数和单位阶跃函数125

5.2 斯图姆-刘维尔理论127

5.2.1 斯图姆-刘维尔方程127

5.2.2 边值条件和初始条件128

5.2.3 本征值与本征函数129

5.3 微分方程的幂级数解130

5.3.1 求解微分方程的幂级数法131

5.3.2 勒让德函数131

5.3.3 贝塞尔函数134

5.4 微分方程的MATLAB求解136

5.4.1 微分方程的解析解136

5.4.2 求解举例139

思考与练习题141

第6章 数理方程的分类和行波法143

6.1 数理方程的创建和分类143

6.1.1 创建数理方程举例143

6.1.2 数理方程的分类146

6.1.3 线性偏微分方程的叠加原理147

6.2 定解问题及其适定性148

6.2.1 边值条件和初始条件148

6.2.2 定解问题的适定性150

6.3 达朗贝尔公式150

6.3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式151

6.3.2 达朗贝尔公式的物理意义152

6.4 三维波动方程的泊松公式155

6.4.1 三维波动方程的球对称解155

6.4.2 球面平均法和泊松公式156

思考与练习题160

第7章 积分变换163

7.1 傅里叶变换163

7.1.1 傅里叶变换的定义164

7.1.2 傅里叶变换的性质165

7.2 拉普拉斯变换168

7.2.1 拉普拉斯变换的定义168

7.2.2 拉普拉斯变换的性质169

7.3 用MATLAB实现积分变换171

7.3.1 用积分指令171

7.3.2 用积分变换的专用指令173

7.4 积分变换的应用178

7.4.1 傅里叶变换的应用178

7.4.2 拉普拉斯变换的应用186

思考与练习题192

第8章 分离变量法194

8.1 齐次偏微分方程195

8.1.1 有界弦的波动问题195

8.1.2 有界域内的输运问题198

8.2 非齐次偏微分方程201

8.2.1 本征函数法201

8.2.2 圆形域上的定解问题204

8.2.3 非齐次边值条件的处理208

思考与练习题212

附录A MATLAB入门214

附录B 部分练习题参考答案或提示247

参考文献254