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第1章 函数与极限1

1．1 函数1

1．1．1 实数1

1．1．2 区间2

1．1．3 函数的概念2

1．1．4 函数的几种属性5

习题1．18

1．2 初等函数10

1．2．1 基本初等函数10

1．2．2 函数的复合运算12

1．2．3 初等函数13

1．2．4 双曲函数13

习题1．214

1．3 数列的极限15

1．3．1 数列极限的定义15

1．3．2 收敛数列的性质18

1．3．3 数列极限存在的条件23

习题1．328

1．4 函数的极限29

1．4．1 当x→∞时函数的极限29

1．4．2 x→x0时函数的极限31

1．4．3 函数的单侧极限34

1．4．4 函数极限的性质36

习题1．438

1．5 两个重要极限39

习题1．542

1．6 无穷小量与无穷大量42

1．6．1 无穷小量42

1．6．2 无穷小量的比较43

1．6．3 无穷大量44

习题l．646

1．7 函数的连续性47

1．7．1 函数在一点处的连续与间断47

1．7．2 间断点的分类50

1．7．3 连续函数的运算与初等函数的连续性50

1．7．4 闭区间上连续函数的性质53

习题1．756

第2章 导数与微分58

2．1 导数概念58

2．1．1 两个引例58

2．1．2 导数的定义59

2．1．3 可导与连续的关系63

习题2．165

2．2 求导法66

2．2．1 函数四则运算的求导法则66

2．2．2 复合函数求导法则68

2．2．3 初等函数求导71

习题2．272

2．3 高阶导数73

习题2．376

2．4 微分77

2．4．1 引言77

2．4．2 微分的定义78

2．4．3 微分公式与微分运算法则80

2．4．4 微分形式不变性81

习题2．482

2．5 求导法（续）83

2．5．1 隐函数求导法83

2．5．2 参数方程表示的函数的求导法85

2．5．3 对数求导法87

2．5．4 求导杂例87

习题2．589

第3章 导数的应用91

3．1 微分学中值定理91

习题3．198

3．2 洛必达法则100

习题3．2106

3．3 泰勒公式106

3．3．1 带佩亚诺（Peano）余项的泰勒（Taylor）公式106

3．3．2 带拉格朗日余项的泰勒公式111

习题3．3115

3．4 函数的单调性与极值116

3．4．1 函数的单调性与极值116

3．4．2 最大值和最小值问题120

习题3．4126

3．5 曲线的凹凸性与函数图像描绘127

3．5．1 曲线的凹凸性127

3．5．2 函数图像的描绘131

习题3．5135

3．6 弧长微分与曲率136

3．6．1 弧长函数及其微分136

3．6．2 曲线的曲率137

习题3．6140

第4章 不定积分141

4．1 不定积分的概念与性质141

4．1．1 原函数与不定积分141

4．1．2 基本积分公式142

4．1．3 不定积分的基本性质143

4．1．4 不定积分存在的条件145

习题4．1146

4．2 不定积分的换元积分法147

4．2．1 第一类换元法147

4．2．2 第二类换元法152

习题4．2156

4．3 不定积分的分部积分法157

习题4．3162

4．4 几种特殊类型函数的不定积分163

4．4．1 有理函数的不定积分163

4．4．2 三角函数有理表达式的不定积分168

4．4．3 简单无理函数的不定积分169

习题4．4171

第5章 定积分172

5．1 定积分的概念172

5．1．1 三个引例172

5．1．2 定积分的定义175

习题5．1178

5．2 定积分的性质178

习题5．2185

5．3 微积分基本定理186

5．3．1 问题的提出186

5．3．2 变上限积分187

5．3．3 牛顿-莱布尼茨公式189

习题5．3192

5．4 定积分的换元法与分部积分法194

5．4．1 定积分的换元法194

5．4．2 定积分的分部积分法198

习题5．4201

5．5 定积分综合题举例202

习题5．5207

5．6 反常积分208

5．6．1 无穷区间上的反常积分209

5．6．2 无界函数的反常积分214

习题5．6218

第6章 定积分的应用220

6．1 微元法220

6．2 定积分在几何上的应用221

6．2．1 求平面图形的面积举例221

6．2．2 求体积举例223

6．2．3 求平面曲线的弧长举例227

6．2．4 求旋转曲面的侧面积举例229

习题6．2230

6．3 定积分在物理上的应用232

6．3．1 求变力做功举例232

6．3．2 求水压力举例234

6．3．3 求引力举例235

习题6．3237

6．4 定积分的近似计算238

6．4．1 矩形法公式239

6．4．2 梯形法公式239

6．4．3 辛普森公式240

习题6．4242

第7章 级数243

7．1 常数项级数的概念和性质243

7．1．1 常数项级数的定义及收敛性概念243

7．1．2 常数项级数的基本性质246

7．11 3 级数收敛的必要条件247

习题7．1248

7．2 正项级数的敛散性判别249

7．2．1 比较判别法250

7．2．2 积分判别法251

7．2．3 比较判别法的极限形式252

7．2．4 比值判别法253

7．2．5 根值判别法255

习题7．2256

7．3 绝对收敛与条件收敛257

习题7．3259

7．4 幂级数260

7．4．1 函数项级数的一般概念260

7．4．2 幂级数及其收敛性261

7．4．3 幂级数的运算及和函数的性质265

习题7．4268

7．5 函数展开成幂级数269

7．5．1 函数展开成幂级数的条件269

7．5．2 函数展开成幂级数271

7．5．3 函数的幂级数展开式的应用277

习题7．5281

7．6 傅里叶级数281

7．6．1 三角级数 三角函数系的正交性281

7．6．2 函数展开成傅里叶级数283

7．6．3 正弦级数和余弦级数288

7．6．4 周期为21的周期函数的傅里叶级数291

7．6．5 傅里叶级数的复数形式293

习题7．6296

附录Ⅰ 极坐标297

附录Ⅱ 几种常用的曲线300

附录Ⅲ 积分表303

附录Ⅳ 二阶和三阶行列式简介313

习题参考答案与提示317