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第一章 群和群表示1

1.1群的定义和有限群的几个性质1

1.1.1群的定义1

1.1.2有限群的基本性质2

1.2子群和商群4

1.2.1子群的定义4

1.2.2陪集的定义和有关的定理4

1.2.3内积与共轭子群5

1.2.4不变子群（自轭子群或正则子群）6

1.2.5商群7

1.3同构群与同态群，核9

1.3.1同构群9

1.3.2同态群9

1.3.3核9

1.4群的矩阵表示与有关的定理10

1.4.1群G的矩阵表示的定义10

1.4.2幺正矩阵群10

1.4.3可约表示，完全可约表示和不可约表示10

1.4.4等价的群表示11

1.5有关不可约表示的几个定理13

1.6不可约表示的特征标22

1.6.1特征标的定义22

1.6.2特征标的性质22

1.6.3类的和以及有关的性质24

1.6.4可约表示的简约25

1.7规则表示26

1.7.1定义26

1.7.2规则表示的特性28

1.8直接乘积31

1.8.1群的直接乘积的定义31

1.8.2矩阵的直接乘积33

1.8.3矩阵的直接乘积可做为群直接乘积的表示34

1.8.4直接乘积的表示的特征标是各表示特征标的乘积34

1.9几种常见的群34

1.9.1阿贝尔群35

1.9.2循环群35

1.9.3排列群36

1.9.4对称性群36

1.10晶体中对称操作的数学描述37

1.10.1主动型描述和被动型描述37

1.10.2矩阵A的并矢表示39

1.11晶体中的基本对称操作42

1.12 32个点群45

1.12.1生群元45

1.12.2 32个点群的符号45

1.12.3 32个点群46

1.13 32个点群的特征标63

第一章习题73

参考文献74

第二章 群表示与薛定谔方程75

2.1函数与算符的对称变换75

2.1.1函数的变换75

2.1.2算符的变换77

2.2哈密顿算符的变换性质78

2.2.1哈密顿算符的对称变换78

2.2.2使哈密顿算符不变的操作78

2.2.3两种常见的哈密顿算符所属的群79

2.3群表示与函数空间的基矢80

2.3.1用以产生群表示的基矢80

2.3.2函数空间或矢量空间84

2.3.3可约函数空间与不可约函数空间84

2.4不可约表示基矢的性质92

2.4.1幺正算符和幺正矩阵92

2.4.2不可约表示Dj（R）的第λ列基矢所满足的充要条件93

2.4.3准投影算符〓jλ94

2.4.4属于第j个不可约表示的基矢fj95

2.4.5投影算符〓j95

2.4.6定理96

2.5薛定谔方程的解与哈密顿量的群100

2.5.1定理100

2.5.2正常简并和偶然简并102

2.5.3系一102

2.6矩阵元的计算104

2.7简并态的微扰理论106

2.8轴转动群和完全转动群109

2.8.1轴转动群109

2.8.2完全转动群111

2.9完全转动群的不可约表示按点群的简约113

2.9.1 D l按D3群的简约113

2.9.2 D l按点群Oh的简约114

2.9.3 D l按Td群的简约117

2.9.4 D l按照D4h群的简约117

2.10杂化轨道的组合117

2.11分子轨道（MO）理论123

2.12分子振动的简正模式与简正坐标128

2.12.1原子振动的描述128

2.12.2群论在求解简正坐标与振动方式中的应用131

2.13振动谱的选择定则144

2.13.1红外活性和无红外活性145

2.13.2拉曼跃迁146

2.14振动波函数的对称性148

2.14.1组频能态波函数的对称性149

2.14.2倍频能级波函数的对称性150

2.14.3一般振动态的对称性154

2.14.4非简谐项的影响156

2.15原子振动-电子相互作用，杨-特勒（Jahn-Teller）效应156

2.15.1电子-原子振动相互作用对电子跃迁的影响156

2.15.2杨-特勒（Jahn-Teller）效应157

第二章习题158

参考文献160

第三章 完全转动群的不可约表示和角动量161

3.1用欧拉角描述转动的完全转动群的不可约表示161

3.2二维幺正群164

3.2.1二维幺正幺模矩阵164

3.2.2二维幺正幺模矩阵和坐标变换的关系165

3.2.3 R（u）与R（α,β，γ）的关系167

3.2.4与转动操作对应的二维幺正幺模矩阵组成群169

3.3由二维幺正群导出的完全转动群的不可约表示169

3.4无穷小转动算符和角动量算符174

3.4.1绕x轴作角度为dθ的无穷小转动的算符及其不可约表示174

3.4.2绕y轴作角度为dθ的无穷小转动的算符PRy及其不可约表示176

3.4.3绕z轴作角度为dθ的无穷小转动的算符PRz及其不可约表示178

3.4.4转动算符的一般表示式179

3.5角动量耦合与矢量耦合系数180

3.5.1耦合表象与非耦合表象181

3.5.2 Ajj1jm2 mm1 m2的计算181

3.5.3 Dj1〓Dj2在耦合表象中的简约188

3.6 矢量耦合系数的性质189

3.6.1 j,m为某些特殊值的矢量耦合系数189

3.6.2 Ajj1mj2 mm1 m2的矩阵表示和正交关系189

3.6.3矢量耦合系数的对称性质192

3.7 Clebsch-Gordan系列193

3.7.1 Clebsch-Gordan系列的定义193

3.7.2逆Clebsch-Gordan系列194

3.7.3球谐函数的某些性质195

3.8张量算符198

3.8.1矢量算符198

3.8.2二级张量算符199

3.8.3其他的高级张量算符201

3.8.4不可约张量算符201

3.8.5不可约张量算符的乘积203

3.9不可约张量算符矩阵元的简约，Wigner-Eckart定理205

3.10三个角动量的耦合，Racah系数209

3.10.1 Racah系数的定义和推导209

3.10.2 Racah系数的性质212

3.10.3 Racah系数应用举例——矩阵元〈j′m′j1′j2′|TL（1）TL（2）|jmj1j2〉的简约213

3.11自旋角动量217

3.12计入自旋转动耦合的哈密顿算符所属的群219

3.13双点群的性质与特征标表224

3.13.1双点群的性质224

3.13.2双点群的不可约表示的特征标表227

3.14时间反演对称算符234

3.14.1时间反演对称和时间反演算符235

3.14.2计入自旋后的时间反演算符的性质237

3.14.3 Kramers定理240

3.14.4对非简并的态，磁矩的平均值为零240

3.15计入时间反演后电子系能级的简并度241

3.15.1复表示的定义与性质241

3.15.2当j为整数时，完全转动群的不可约表示Dj （R）是实表示244

3.15.3时间反演附加简并246

第三章习题251

参考文献251

第四章 群论在有关原子结构问题中的应用252

4.1顺磁晶体中的晶体场252

4.2晶体微扰势矩阵元的计算256

4.3多电子体系的薛定谔方程264

4.4 Russel-Saunder耦合能量的计算269

4.4.1根据角动量简化久期方程270

4.4.2 Slater求和定则272

4.4.3 计入静电相互作用后能级的分裂274

4.4.4计入自旋-轨道耦合后能级的分裂283

4.5在外加磁场下能级的分裂291

4.6超精细结构295

4.6.1磁偶极矩相互作用295

4.6.2有外加磁场的情况299

4.6.3电-四极矩相互作用300

第四章习题302

参考文献303

第五章 空间群表示304

5.1描述转动及平移算符的性质304

5.2空间群306

5.3布喇菲格子308

5.4纯平移群的不可约表示311

5.5群的分导表示，Frobenius定理313

5.5.1分导表示的定义313

5.5.2 Frobenius第一定理314

5.5.3 Frobenius第二定理315

5.6群的诱导表示316

5.6.1定义316

5.6.2诱导表示△Ij的矩阵元316

5.7诱导表示的特征标，Frobenius互易原理321

5.7.1诱导表示的特征标321

5.7.2 Frobenius互易原理322

5.8诱导表示的不可约性324

5.9正则子群的共轭表示326

5.9.1共轭表示的定义326

5.9.2轨道，波矢星326

5.9.3共轭表示基矢之间的关系332

5.9.4正则子群与共轭表示的关系333

5.10第二类小群333

5.10.1定义333

5.10.2空间群的第二类小群——波矢群Gk335

5.10.3同构共轭子群335

5.10.4可允许表示337

5.11简单空间群的不可约表示的诱导341

5.12简单空间群不可约表示与晶体能带结构350

5.13自由电子近似计算立方晶体的能带结构353

5.13.1薛定谔方程及其解353

5.13.2能量E（k）k所属的不可约表示及有关的基矢354

5.14非简单空间群不可约表示的诱导357

5.14.1表示的核357

5.14.2不变子群358

5.14.3表示的产生359

5.14.4用LII（△）/K可产生LII（△）的可允许表示359

5.14.5求非简单空间群不可约表示的步骤360

5.15金刚石型晶体（空间群O7h）波矢群的不可约表示的特征标362

5.16空间群不可约表示直接乘积的简约366

5.17晶体晶格振动的正则模式374

5.17.1运动方程及其解374

5.17.2本征矢的变换性质377

5.17.3本征矢的计算381

5.17.4金刚石的正则振动模式385

5.18晶体红外吸收与拉曼散射的选择定则387

5.18.1振动波函数|n〉的对称性387

5.18.2偶极矩算符的对称性和红外吸收选择定则389

5.18.3极化率算符的对称性与拉曼跃迁选择定则394

第五章习题395

参考文献397

附录398