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第1章 绪论1

1.1 数值分析的研究对象与特点1

1.2 数值计算的误差2

1.2.1 误差的来源与分类2

1.2.2 误差与有效数字3

1.2.3 数值计算的误差估计5

1.3 误差定性分析与避免误差危害6

1.3.1 病态问题与条件数6

1.3.2 算法的数值稳定性7

1.3.3 避免误差危害的若干原则8

1.4 MATLAB软件简介10

1.4.1 MATLAB基础知识介绍11

1.4.2 MATLAB的程序设计16

1.4.3 MATLAB的绘图功能25

1.4.4 MATLAB在数值分析中的应用40

习题146

本章常用词汇中英文对照47

第2章 解线性方程组的直接法48

2.1 高斯消去法48

2.1.1 高斯消去法48

2.1.2 高斯－约当消去法50

2.1.3 高斯消去法进行到底的条件51

2.1.4 高斯消去法与三角状分解52

2.2 高斯主元素消去法53

2.3 直接三角分解法56

2.3.1 杜利特尔分解56

2.3.2 克洛特分解58

2.3.3 选主元的三角分解法59

2.3.4 解三对角形方程组的追赶法62

2.4 解对称正定方程组的平方根法63

2.4.1 对称正定矩阵的乔列斯基分解与平方根法63

2.4.2 改进的平方根法66

2.5 行列式和矩阵求逆68

2.5.1 行列式的计算68

2.5.2 逆矩阵的计算68

2.6 向量和矩阵的范数69

2.6.1 向量范数69

2.6.2 矩阵范数71

2.7 误差分析75

2.7.1 方程组的性态与条件数75

2.7.2 病态方程组的解法80

2.8 数值实验83

2.8.1 高斯消去法83

2.8.2 列主元消去法85

2.8.3 实验练习86

习题287

本章常用词汇中英文对照89

第3章 解线性方程组的迭代法90

3.1 雅可比迭代法与赛德尔迭代法90

3.1.1 雅可比迭代法90

3.1.2 赛德尔迭代法92

3.2 迭代法的收敛性94

3.2.1 向量序列和矩阵序列的极限94

3.2.2 迭代法的收敛性95

3.2.3 特殊方程组迭代法的收敛性99

3.2.4 误差估计100

3.2.5 迭代法的收敛速度101

3.3 超松弛迭代法102

3.3.1 迭代格式102

3.3.2 超松弛法的收敛性103

3.4 数值实验105

3.4.1 雅可比迭代法105

3.4.2 高斯－赛德尔迭代法107

3.4.3 实验练习109

习题3110

本章常用词汇中英文对照112

第4章 非线性方程求根114

4.1 根的搜索114

4.1.1 逐步搜索法（扫描法）114

4.1.2 区间二分法115

4.2 迭代法116

4.2.1 迭代法的基本思想116

4.2.2 简单迭代法117

4.2.3 迭代法的局部收敛性120

4.2.4 迭代法的收敛速度121

4.3 牛顿迭代法122

4.3.1 牛顿迭代法的计算公式122

4.3.2 牛顿迭代法的几何意义123

4.3.3 牛顿迭代法的修正形式（重根情形）124

4.4 弦线法125

4.5 代数方程求根的牛顿法127

4.6 数值实验129

4.6.1 方程求根的一般方法129

4.6.2 二分法求方程的近似根130

4.6.3 牛顿迭代法求方程的近似根132

4.6.4 练习133

习题4133

本章常用词汇中英文对照134

第5章 插值法135

5.1 插值概念135

5.1.1 插值定义135

5.1.2 插值多项式的存在唯一性135

5.2 拉格朗日插值137

5.2.1 插值基函数137

5.2.2 拉格朗日插值多项式138

5.2.3 插值余项139

5.3 差商与牛顿插值公式141

5.3.1 差商141

5.3.2 差商的性质142

5.3.3 牛顿插值公式142

5.4 差分与等距结点插值公式144

5.4.1 差分144

5.4.2 等距结点插值公式145

5.5 埃尔米特插值148

5.5.1 埃尔米特插值148

5.5.2 两点埃尔米特插值问题150

5.6 三次样条插值151

5.6.1 高次插值的龙格现象151

5.6.2 分段低次插值151

5.6.3 三次样条插值函数的定义153

5.6.4 三次样条插值函数的求法155

5.7 数值实验159

5.7.1 拉格朗日插值多项式159

5.7.2 高次插值的龙格现象160

5.7.3 三次样条插值161

5.7.4 练习161

习题5161

本章常用词汇中英文对照163

第6章 数值积分与数值微分164

6.1 引言164

6.1.1 机械求积公式164

6.1.2 插值型求积公式166

6.1.3 代数精度167

6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性169

6.2 牛顿－科茨公式170

6.2.1 牛顿－科茨公式的一般形式170

6.2.2 几个低阶牛顿－科茨公式及其余项171

6.2.3 复化梯形公式与复化辛普森公式174

6.3 龙贝格算法177

6.3.1 复化梯形公式递推化与结点加密177

6.3.2 外推法与龙贝格求积公式178

6.4 高斯求积公式181

6.4.1 高斯求积的基本思想181

6.4.2 高斯型求积公式183

6.4.3 几种常见的高斯型求积公式185

6.5 数值积分的进一步讨论191

6.5.1 奇异积分的处理191

6.5.2 样条求积193

6.6 数值微分194

6.6.1 差商型数值微分194

6.6.2 理查森外推加速法196

6.6.3 插值型数值微分197

6.6.4 样条求导199

6.7 数值实验200

6.7.1 用变步长辛普森方法求积分200

6.7.2 用龙贝格方法求积分201

习题6204

本章常用词汇中英文对照205

第7章 常微分方程的数值解法207

7.1 引言207

7.1.1 定义、问题的分类207

7.1.2 数值离散方法208

7.2 欧拉公式209

7.2.1 欧拉方法209

7.2.2 梯形方法（隐式单步法）210

7.2.3 单步法的局部截断误差和阶211

7.2.4 改进的欧拉方法212

7.3 龙格－库塔方法214

7.3.1 龙格－库塔方法的基本思想214

7.3.2 二阶龙格－库塔方法215

7.3.3 三阶与四阶龙格－库塔方法218

7.3.4 变步长的龙格－库塔方法220

7.4 单步法的收敛性和稳定性222

7.4.1 单步法的收敛性222

7.4.2 单步法的稳定性224

7.5 线性多步法226

7.5.1 线性多步法的一般公式227

7.5.2 亚当斯显式与隐式公式228

7.5.3 米尔恩方法与辛普森方法230

7.5.4 汉明方法231

7.6 一阶常微分方程组和高阶方程232

7.6.1 一阶常微分方程组232

7.6.2 高阶微分方程的初值问题233

7.7 边值问题的差分方法234

7.8 数值实验236

7.8.1 欧拉方法236

7.8.2 改进的欧拉法238

7.8.3 用MATLAB相关函数解常微分方程239

7.8.4 实验练习240

习题7240

本章常用词汇中英文对照242

第8章 最佳平方逼近243

8.1 引言243

8.2 欧氏空间Rn回顾244

8.3 平方可积函数空间246

8.4 正交多项式249

8.4.1 正交多项式及其性质249

8.4.2 勒让德多项式249

8.4.3 切比雪夫多项式250

8.4.4 第二类切比雪夫多项式253

8.4.5 拉盖尔多项式253

8.4.6 埃尔米特多项式253

8.5 最佳平方多项式逼近254

8.5.1 最佳平方逼近254

8.5.2 最佳平方逼近多项式255

8.5.3 用正交多项式求最佳逼近多项式257

8.6 曲线拟合的最小二乘法258

8.7 可化为线性问题的曲线拟合263

8.8 用正交多项式作最小二乘拟合268

8.9 数值实验270

8.9.1 多项式拟合271

8.9.2 正交多项式拟合271

8.9.3 实验练习273

习题8274

本章常用词汇中英文对照275

第9章 矩阵的特征值和特征向量277

9.1 引言277

9.2 幂法和反幂法278

9.2.1 幂法278

9.2.2 反幂法283

9.3 雅可比方法284

9.3.1 吉文斯旋转变换285

9.3.2 雅可比迭代286

9.4 吉文斯－豪斯霍尔德方法289

9.4.1 吉文斯方法289

9.4.2 豪斯霍尔德方法291

9.4.3 对分法293

9.5 QR方法295

9.5.1 QR分解295

9.5.2 QR方法297

9.6 数值实验299

9.6.1 幂法与反幂法299

9.6.2 用MATLAB的相关函数求矩阵特征值和特征向量301

9.6.3 实验练习301

习题9301

本章常用词汇中英文对照303

模拟试卷1304

模拟试卷2306

模拟试卷3308

参考答案310

参考文献319