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第1章 矩阵1

1.1基本要求精述1

1.2基本内容精讲1

1.2.1矩阵的概念1

1.2.2矩阵的运算2

1.2.3矩阵的初等变换与初等矩阵4

1.2.4可逆矩阵的定义4

1.2.5可逆矩阵的性质5

1.2.6可逆矩阵的判别方法6

1.2.7逆矩阵的计算方法6

1.2.8分块矩阵7

1.3典型例题精析9

1.3.1矩阵乘法9

1.3.2方阵幂的计算12

1.3.3逆矩阵的计算17

1.3.4求解矩阵方程22

1.3.5有关矩阵可逆的证明题23

1.3.6综合题26

1.4单元练习精选29

1.5单元练习精解38

第2章 行列式45

2.1基本要求精述45

2.2基本内容精讲45

2.2.1行列式的定义45

2.2.2行列式的性质46

2.2.3特殊行列式的值47

2.2.4分块矩阵对应的行列式公式48

2.2.5与矩阵运算有关的行列式公式49

2.2.6行列式的计算49

2.2.7行列式的应用50

2.2.8与行列式有关的结论50

2.3典型例题精析50

2.3.1利用行列式的定义计算行列式50

2.3.2直接用行列式的性质计算行列式52

2.3.3利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算56

2.3.4利用降阶法计算行列式60

2.3.5利用升阶法计算行列式61

2.3.6利用递推法计算行列式63

2.3.7利用析因子法计算行列式66

2.3.8利用范德蒙行列式计算和证明67

2.3.9涉及矩阵运算的行列式计算69

2.3.10利用分块行列式公式计算行列式71

2.3.11行列式的应用74

2.3.12综合题78

2.4单元练习精选81

2.5单元练习精解89

第3章 线性代数方程组98

3.1基本要求精述98

3.2基本内容精讲98

3.2.1矩阵秩的定义98

3.2.2矩阵秩的性质98

3.2.4矩阵秩的求法99

3.2.3矩阵秩的有关结论99

3.2.5系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解100

3.2.6齐次线性方程组100

3.2.7非齐次线性方程组101

3.3典型例题精析102

3.3.1用定义求矩阵的秩102

3.3.2用初等变换法求矩阵的秩103

3.3.3用性质求矩阵的秩104

3.3.4用有关结论求矩阵的秩105

3.3.5用齐次方程的基础解系求矩阵的秩106

3.3.6齐次线性方程组的求法106

3.3.7非齐次线性方程组的求法109

3.3.8逆矩阵法求线性方程组的解113

3.3.9利用解的结构求非齐次方程组的通解113

3.4单元练习精选115

3.5单元练习精解122

4.2.1n维向量126

4.2基本内容精讲126

4.1基本要求精述126

第4章 向量126

4.2.2向量的内积127

4.2.3线性组合、线性相关、线性无关的定义127

4.2.4向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系128

4.2.5向量的线性相关性的有关结论128

4.2.6向量组的极大无关组与向量组的秩129

4.2.7有相同线性关系的向量组130

4.2.8极大无关组的求法130

4.2.9向量空间131

4.2.10向量空间的基和维数131

4.2.11施密特正交化方法133

4.2.12标准正交基133

4.2.13正交矩阵134

4.2.1齐次线性方程组Ax=0的解空间（A为m×n矩阵）134

4.3典型例题精析134

4.3.1向量α可由向量组β1,β2,…,βm线性表出134

4.3.2线性相关性的判定137

4.3.3有关线性表出与线性相关性的证明139

4.3.4求向量组的极大无关组与秩142

4.3.5有关向量组的极大无关组与秩的计算及证明145

4.3.6利用向量证明有关矩阵秩的问题147

4.3.7齐次方程组基础解系的有关求解与证明149

4.3.8求过渡矩阵152

4.3.9有关正交基154

4.4单元练习精选157

4.5单元练习精解167

第5章 矩阵特征值问题与二次型176

5.1基本要求精述176

5.2基本内容精讲176

5.2.1特征值与特征向量的定义176

5.2.2特征值与特征向量的求法176

5.2.3特征值与特征向量的性质177

5.2.6 n阶矩阵A可对角化的条件178

5.2.5相似矩阵的性质178

5.2.4相似矩阵的概念178

5.2.7将A对角化的方法179

5.2.8实对称矩阵的正交对角化179

5.2.9二次型及其矩阵形式180

5.2.10与二次型的标准形有关的概念180

5.2.11化二次型为标准形的方法182

5.2.12化二次型为规范形的方法182

5.2.13正定二次型和正定矩阵的概念183

5.2.14正定矩阵的判别方法183

5.2.15正定矩阵的有关结论184

5.3典型例题精析184

5.3.1特征值与特征向量的计算184

5.3.2由特征值或特征向量的概念确定矩阵中的某些元素189

5.3.3有关特征值与特征向量的证明192

5.3.4利用特征值证明矩阵的可逆性196

5.3.5矩阵相似与矩阵对角化条件199

5.3.6实对称阵的正交对角化与用正交变换化二次型为标准形问题204

5.3.7用配方法化二次型为标准型209

5.3.8矩阵对角化的应用212

5.3.9与二次型的标准形有关的问题215

5.3.10正定矩阵的判别与证明219

5.3.11利用二次型的知识解决综合问题224

5.4单元练习精选227

5.5单元练习精解235

附录1.1 试卷246

附录1 线性代数期终试卷精选246

附录1.2 答案及提示262

附录2 1987年—2004年硕士生入学考试各类数学试卷中线性代数试题汇编271

附录2.1试卷271

附录2.2答案及提示316

附录3硕士生入学考试模拟练习卷348

附录3.1练习卷348

附录3.2答案及提示361

参考文献372