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译者序1

前言1

第1章 曲线和曲面的表示1

1.1 曲线的解析表示1

1.1.1 平面曲线1

目录1

1.1.2 空间曲线3

1.2 曲面的解析表示4

1.3 Bézier曲线和曲面6

1.3.1 Bernstein多项式7

1.3.3 Bernstein多项式的数值条件9

1.3.2 Bernstein多项式的算术运算9

1.3.4 Bézier曲线的定义和性质12

1.3.5 Bézier曲线的算法15

1.3.6 Bézier曲面18

1.4 B-样条曲线和曲面20

1.4.1 B-样条20

1.4.2 B-样条曲线21

1.4.3 B-样条曲线的算法24

1.4.4 B-样条曲面29

1.5 B-样条到NURBS的推广30

2.1 弧长和切向量34

第2章 曲线的微分几何34

2.2 主法向和曲率38

2.3 副法向和挠率42

2.4 Frenet-Serret公式46

第3章　曲面的微分几何48

3.1 切平面和曲面法向48

3.2 第一基本齐式（度量）51

3.3 第二基本齐式（曲率）54

3.4 主曲率58

3.5 高斯曲率和中曲率62

3.5.1 显式曲面63

3.5.2 隐式曲面64

3.6 欧拉定理和丢潘标形68

第4章　非线性多项式求解和鲁棒性问题72

4.1 引言72

4.2　局部求解方法73

4.3 整体求解方法的分类75

4.3.1　代数与混合方法75

4.3.2 同伦（homotopy）（连续）方法77

4.3.3 剖分方法77

4.4　投影多面体算法77

4.5 具有平方根的非线性多项式方程组的辅助变量方法87

4.6 鲁棒性问题89

4.7 区间运算92

4.8 舍入区间运算及其实现94

4.8.1　双精度浮点运算95

4.8.2　在二进制表示中提取指数部分98

4.8.3 两种计算最终精度单位方法的比较101

4.8.4　硬件实现的舍入区间运算102

4.8.5 舍入区间算法的实现104

4.9 区间投影多面体算法105

4.9.1 控制多项式方程的公式化（formulation）106

4.9.2　软件和硬件实现舍入的比较107

第5章　求交问题110

5.1 求交问题概述110

5.2.1 基于维数的分类113

5.2 求交问题的分类113

5.2.2　基于几何类型的分类114

5.2.3 基于计算机中数字表示方法的分类114

5.3　点／点求交115

5.4 点／曲线求交116

5.4.1 点／隐式代数曲线求交116

5.4.2 点／有理多项式参数曲线求交118

5.4.3　点／过程参数曲线求交121

5.5 点／曲面求交122

5.5.1 点／隐式代数曲面求交122

5.5.2 点／有理多项式参数曲面求交122

5.5.3 点／过程参数曲面求交125

5.6.1 有理多项式参数／隐式代数曲线求交（情形D3）126

5.6 曲线／曲线求交126

5.6.2 有理多项式参数曲线／有理多项式参数曲线求交（情形D1）130

5.6.3 有理多项式参数曲线／过程参数曲线和过程参数曲线／过程参数曲线的求交问题（情形D2和D5）132

5.6.4 过程参数曲线／隐式代数曲线求交（情形D6）133

5.6.5 隐式代数曲线／隐式代数曲线求交（情形D8）133

5.7 曲线／曲面求交134

5.7.1 有理多项式参数曲线／隐式代数曲面求交（情形E3）135

5.7.2 有理多项式参数曲线／有理多项式参数曲面求交（情形E1）135

5.7.3 有理多项式参数／过程参数曲线与过程参数曲面求交（情形E2和E6）136

5.7.4 过程参数曲线／隐式代数曲面求交（情形E7）136

5.7.6 隐式代数曲线／有理多项式参数曲面求交（情形E9）137

5.7.5 隐式代数曲线／隐式代数曲面求交（情形E11）137

5.8 曲面／曲面求交138

5.8.1 有理多项式参数曲面／隐式代数曲面求交（情形F3）138

5.8.2 有理多项式参数曲面／有理多项式参数曲面求交（情形F1）148

5.8.3 隐式代数曲面／隐式代数曲面求交（情形F8）153

5.9 曲线和曲面的重叠155

5.10 曲线曲面的自相交157

5.11 总结159

第6章 交线的微分几何161

6.1 引言161

6.2 进一步的曲线微分几何知识162

6.3.1　切线方向164

6.3　横截交线164

6.3.2 曲率与曲率向量165

6.3.3 挠率和三阶导数向量167

6.3.4 更高阶导数向量168

6.4　相切交点处的交线169

6.4.1 切线方向170

6.4.2 曲率和曲率向量173

6.4.3 三阶和更高阶导数向量176

6.5 例子177

6.5.1 参数-隐式曲面间横截相交177

6.5.2 隐式-隐式曲面间相切相交179

7.1 引言181

第7章　距离函数181

7.2 问题表述182

7.2.1 点集间距离的定义182

7.2.2 距离函数稳定点的几何解释184

7.3 关于稳定点的进一步讨论185

7.3.1 稳定点的分类185

7.3.2　非孤立稳定点190

7.4　例子192

第8章 曲线和曲面的外形分析195

8.1 外形分析方法的分类195

8.1.1 0阶外形分析方法196

8.1.2 一阶外形分析方法197

8.1.3 二阶外形分析方法200

8.1.4 三阶外形分析方法205

8.1.5 四阶外形分析方法208

8.2 自由参数曲面的曲率稳定点209

8.2.1　高斯曲率209

8.2.2 中曲率212

8.2.3 主曲率213

8.3 显式曲面上的曲率稳定点215

8.4 隐式曲面的曲率稳定点220

8.5 常数曲率的等值线222

8.5.1　等值线层次222

8.5.2　起始点计算223

8.5.3 等值线的数学描述226

8.5.4　例子227

第9章　脐点和曲率线231

9.1 引言231

9.2　脐点附近的曲率线232

9.3　转化为Monge型237

9.4 曲率线的积分242

9.5 脐点处的主曲率局部极值244

9.6 一般脐点的扰动251

9.7 可展曲面的折线（inflection lines）256

9.7.1 可展曲面的微分几何256

9.7.2 折线附近的曲率线263

第10章　测地线266

10.1 引言266

10.2 测地方程267

10.2.1 参数曲面267

10.2.2 隐式曲面271

10.3 两点边值问题273

10.3.1 引言273

10.3.2　打靶法274

10.3.3 松弛法275

10.4　初始逼近276

10.4.1 线性逼近276

10.4.2 圆弧逼近278

10.5 点与曲线之间的最短路径280

10.6　数值应用282

10.6.1 两点间的测地路径282

10.6.2 点与曲线间的测地路径284

10.7　测地等距线287

10.8 可展曲面上的测地线289

第11章　等距曲线和等距曲面293

11.1 引言293

11.1.1 背景和动机293

11.1.2 NC加工295

11.1.3 中轴299

11.1.4 公差域306

11.2　平面等距线307

11.2.1　微分几何307

11.2.2　奇异情形分类307

11.2.3 奇异点的计算311

11.2.4　逼近313

11.3 等距面316

11.3.1　微分几何316

11.3.2 等距面的奇异性318

11.3.3 隐式二次曲面等距面的自相交线319

11.3.4 显式二次曲面等距面的自相交线329

11.3.5 多项式参数曲面等距面的自相交线338

11.3.6 自相交线的跟踪344

11.3.7　逼近345

11.4　Pythagorean速端曲线曲面349

11.4.1 曲线349

11.4.2 曲面351

11.5　广义等距352

11.6　管道曲面354

11.6.1 引言354

11.6.2 管道曲线的局部自相交355

11.6.3 管道曲面的全局自相交356

习题365

附录　彩图375

参考文献379