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第1章 代数与矩阵基础1

1.1 代数与矩阵的基本概念1

1.1.1 代数基本概念1

1.1.2 矩阵与向量3

1.1.3 矩阵的基本运算4

1.2 矩阵的初等变换6

1.2.1 初等行变换与阶梯型矩阵7

1.2.2 初等行变换的两个应用9

1.2.3 初等列变换12

1.3 矩阵的性能指标13

1.3.1 矩阵的行列式13

1.3.2 矩阵的二次型14

1.3.3 矩阵的特征值14

1.3.4 矩阵的迹15

1.3.5 矩阵的秩16

1.4 内积与范数18

1.4.1 向量的内积与范数18

1.4.2 矩阵的内积与范数22

1.5 矩阵和向量的应用案例23

1.5.1 模式识别与机器学习中向量的相似比较23

1.5.2 人脸识别的稀疏表示25

本章小结26

习题26

第2章 特殊矩阵29

2.1 置换矩阵、互换矩阵与选择矩阵29

2.1.1 Hermitian矩阵29

2.1.2 置换矩阵与互换矩阵30

2.1.3 广义置换矩阵与选择矩阵32

2.1.4 广义置换矩阵在鸡尾酒会问题中的应用案例33

2.2 正交矩阵与酉矩阵34

2.3 三角矩阵36

2.4 Vandermonde矩阵与Fourier矩阵37

2.4.1 Vandermonde矩阵38

2.4.2 Fourier矩阵40

2.5 Hadamard矩阵41

2.6 Toeplitz矩阵与Hankel矩阵43

2.6.1 Toeplitz矩阵43

2.6.2 Hankel矩阵44

本章小结45

习题45

第3章 矩阵的相似化简与特征分析48

3.1 特征值分解48

3.1.1 矩阵的特征值分解48

3.1.2 特征值的性质50

3.1.3 特征向量的性质52

3.1.4 特征值分解的计算53

3.2 矩阵与矩阵多项式的相似化简54

3.2.1 矩阵的相似变换54

3.2.2 矩阵的相似化简57

3.2.3 矩阵多项式的相似化简60

3.3 多项式矩阵及相抵化简63

3.3.1 多项式矩阵与相抵化简的基本理论64

3.3.2 多项式矩阵的相抵化简方法66

3.3.3 Jordan标准型与Smith标准型的相互转换69

3.4 Cayley-Hamilton定理及其应用74

3.4.1 Cayley-Hamilton定理74

3.4.2 在矩阵函数计算中的应用75

3.5 特征分析的应用78

3.5.1 Pisarenko谐波分解78

3.5.2 主成分分析81

3.5.3 基于特征脸的人脸识别82

3.6 广义特征值分解87

3.6.1 广义特征值分解及其性质87

3.6.2 广义特征值分解算法89

3.6.3 广义特征分析的应用90

3.6.4 相似变换在广义特征值分解中的应用92

本章小结95

习题95

第4章 奇异值分析100

4.1 数值稳定性与条件数100

4.2 奇异值分解102

4.2.1 奇异值分解及其解释102

4.2.2 奇异值的性质105

4.2.3 矩阵的低秩逼近107

4.2.4 奇异值分解的数值计算108

4.3 乘积奇异值分解111

4.3.1 乘积奇异值分解问题111

4.3.2 乘积奇异值分解的精确计算112

4.4 奇异值分解的工程应用案列114

4.4.1 静态系统的奇异值分解114

4.4.2 图像压缩115

4.4.3 数字水印119

4.5 广义奇异值分解123

4.5.1 广义奇异值分解的定义与性质123

4.5.2 广义奇异值分解的实际算法125

4.5.3 广义奇异值分解的应用例子128

本章小结129

习题129

第5章 子空间分析131

5.1 子空间的一般理论131

5.1.1 子空间的基131

5.1.2 无交连、正交与正交补133

5.1.3 子空间的正交投影与夹角135

5.2 列空间、行空间与零空间137

5.2.1 矩阵的列空间、行空间与零空间137

5.2.2 子空间基的构造：初等变换法140

5.2.3 基本空间的标准正交基构造：奇异值分解法142

5.3 信号子空间与噪声子空间144

5.4 快速子空间跟踪与分解147

5.4.1 投影逼近子空间跟踪147

5.4.2 快速子空间分解152

5.5 子空间方法的应用156

5.5.1 多重信号分类156

5.5.2 子空间白化157

5.5.3 盲信道估计的子空间方法158

本章小结164

习题164

第6章 广义逆与矩阵方程求解167

6.1 广义逆矩阵167

6.1.1 满列秩和满行秩矩阵的广义逆矩阵167

6.1.2 Moore-Penrose逆矩阵168

6.2 广义逆矩阵的求取172

6.2.1 广义逆矩阵与矩阵分解的关系172

6.2.2 Moore-Penrose逆矩阵的数值计算173

6.3 最小二乘方法175

6.3.1 普通最小二乘方法176

6.3.2 数据最小二乘177

6.3.3 Tikhonov正则化方法178

6.3.4 交替最小二乘方法180

6.4 总体最小二乘184

6.4.1 总体最小二乘问题184

6.4.2 总体最小二乘解185

6.4.3 总体最小二乘解的性能190

6.5 约束总体最小二乘190

6.5.1 约束总体最小二乘方法190

6.5.2 最小二乘方法及其推广的比较192

6.6 稀疏矩阵方程求解193

6.6.1 L1范数最小化194

6.6.2 贪婪算法195

6.6.3 同伦算法197

6.7 三个应用案例198

6.7.1 恶劣天气下的图像恢复198

6.7.2 总体最小二乘法在确定地震断层面参数中的应用202

6.7.3 谐波频率估计204

本章小结209

习题210

第7章 矩阵微分与梯度分析213

7.1 Jacobian矩阵与梯度矩阵213

7.1.1 Jacobian矩阵213

7.1.2 梯度矩阵214

7.1.3 梯度计算215

7.2 一阶实矩阵微分与Jacobian矩阵辨识217

7.2.1 一阶实矩阵微分217

7.2.2 标量函数的Jacobian矩阵辨识219

7.2.3 矩阵微分的应用举例226

7.3 实变函数无约束优化的梯度分析227

7.3.1 单变量函数f（x）的平稳点与极值点228

7.3.2 多变量函数f（x）的平稳点与极值点230

7.3.3 多变量函数f（X）的平稳点与极值点231

7.3.4 实变函数的梯度分析233

7.4 平滑凸优化的一阶算法235

7.4.1 凸集与凸函数235

7.4.2 无约束凸优化的一阶算法237

7.5 约束凸优化算法243

7.5.1 标准约束优化问题243

7.5.2 极小-极大化与极大-极小化方法244

7.5.3 Nesterov最优梯度法248

本章小结250

习题250

参考文献252