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第1章 基本定理1

1.1 解的存在唯一性定理1

1.2 解的延拓3

1.3 解对初值和参数的连续依赖性和可微性9

1.4 比较定理13

习题121

第2章 动力系统的基本知识23

2.1 自治系统与非自治系统23

2.1.1 相空间与轨线23

2.1.2 自治系统的基本性质25

2.1.3 动力系统的概念28

2.2 轨线的极限集合29

2.2.1 常点与奇点29

2.2.2 自治系统解的延拓性30

2.2.3 ω极限集与α极限集及其基本性质32

2.3 平面上的极限集35

2.3.1 平面有界极限集的特性与结构35

2.3.2 Poincar？-Bendixson环域定理37

2.4 极限集的应用实例39

2.4.1 Volterra捕食-被捕食模型39

2.4.2 三极管电路的van der Pol方程42

习题244

第3章 稳定性理论46

3.1 稳定性的定义和例子46

3.1.1 稳定性的几个定义46

3.1.2 稳定性的关系及例子49

3.2 自治系统零解的稳定性54

3.2.1 ν函数54

3.2.2 Liapunov稳定性定理55

3.2.3 不稳定性定理57

3.3 非自治系统零解的稳定性59

3.3.1 V函数和k类函数59

3.3.2 零解的稳定性62

3.3.3 零解的不稳定性65

3.4 全局稳定性67

3.4.1 全局稳定的概念和判定定理67

3.4.2 应用举例71

3.4.3 吸引域的估计73

3.5 线性系统及其扰动系统的稳定性73

3.5.1 常系数线性系统的稳定性74

3.5.2 线性系统的扰动81

3.5.3 非自治线性系统的稳定性84

3.6 临界情形下奇点的稳定性分析87

3.6.1 中心流形88

3.6.2 中心流形定理92

3.6.3 临界情况下奇点的稳定性分析举例95

3.7 Liapunov函数的构造102

3.7.1 Liapunov函数的存在性102

3.7.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式104

3.7.3 二次型方法的推广108

3.7.4 线性类比法110

3.7.5 能量函数法112

3.7.6 分离变量法113

3.7.7 变梯度法114

3.8 判定稳定性时的比较方法116

3.8.1 与数量方程的比较116

3.8.2 与向量方程的比较120

习题3122

第4章 平面系统的奇点125

4.1 初等奇点125

4.1.1 线性系统的孤立奇点125

4.1.2 非线性系统的双曲奇点135

4.2 中心与焦点的判定140

4.2.1 非双曲初等奇点的类型与中心的判定定理140

4.2.2 细焦点及其判定法147

4.3 高阶奇点157

4.3.1 沿不变直线方向的拉伸变换158

4.3.2 通过极坐标变换的“吹胀”技巧160

4.3.3 沿χ与y方向的“吹胀”165

4.3.4 非齐次“吹胀”169

4.4 旋转数与指数171

4.4.1 旋转数及其基本性质171

4.4.2 奇点的指数173

习题4177

第5章 极限环179

5.1 基本概念与极限环的不存在性179

5.1.1 基本概念179

5.1.2 极限环不存在性的判定法181

5.2 极限环的存在性187

5.3 后继函数与极限环的稳定性198

5.3.1 Poinear？映射与后继函数198

5.3.2 曲线坐标与极限环的稳定性200

5.4 极限环的唯一性204

习题5211

第6章 无穷远奇点与全局结构212

6.1 无穷远奇点212

6.1.1 Poincar？球面与Poincar？变换212

6.1.2 无穷远奇点与Poincar？圆盘214

6.2 轨线的全局结构分析举例224

习题6228

第7章 分支理论229

7.1 一个例子229

7.2 结构稳定与分支现象230

7.2.1 结构稳定的定义230

7.2.2 结构稳定的等价描述232

7.2.3 结构不稳定：分支现象233

7.3 奇点分支234

7.3.1 一维系统的奇点分支234

7.3.2 二维或更高维系统的奇点分支238

7.3.3 给定扰动参数的奇点分支问题242

7.4 Hopf分支243

7.4.1 平面系统的Hopf分支244

7.4.2 利用特征根的共振性求正规形255

7.4.3 三维或更高维系统的Hopf分支257

7.5 闭轨分支259

7.5.1 平面系统的闭轨分支259

7.5.2 三维或更高维系统的闭轨分支263

7.6 奇异闭轨分支268

7.6.1 平面系统的同宿分支269

7.6.2 旋转向量场270

7.6.3 平面系统同宿分支的例子272

7.6.4 关于异宿分支和高维系统奇异闭轨分支的介绍275

7.7 Poincar？分支——从平面闭轨族分支极限环276

7.7.1 平面Hamilton系统的扰动问题276

7.7.2 高阶Melnikov函数284

7.7.3 平面可积系统的扰动问题286

7.7.4 弱化的希尔伯特第16问题287

7.8 从高维系统的闭轨族产生周期解的分支问题289

7.9 Bogdanov-Takens分支296

7.9.1 利用变换求正规形296

7.9.2 余维2的B-T分支：普适开折的推导298

7.9.3 余维2的B-T分支：分支图与轨线拓扑分类302

习题7303

第8章 常微分方程的应用举例308

8.1 一个三种群相互作用的Volterra模型研究308

8.1.1 正平衡解的稳定性308

8.1.2 模型平面解的存在性及其渐近性态311

8.1.3 一个Volterra模型的Hopf分支314

8.2 传染病模型317

8.2.1 假设和记号317

8.2.2 SIS模型317

8.2.3 SIR模型319

8.2.4 SEIR模型321

8.3 一个总人口变化的SEIR模型的全局性态分析323

8.3.1 模型及其平衡解323

8.3.2 无病平衡点的稳定性325

8.3.3 地方病平衡点的稳定性327

8.3.4 地方病平衡点的全局稳定性329

8.4 三分子反应模型332

8.4.1 模型及其奇点分析332

8.4.2 极限环的存在唯一性334

8.5 一个具有非线性传染率的SI模型的稳定性与分支336

8.5.1 具有非线性传染率的SI模型336

8.5.2 平衡点的稳定性338

8.5.3 模型（8.5.3 ）的Bogdanov-Takens分支341

8.6 一个具有饱和恢复率的季节性传染病模型348

8.6.1 模型及其基本再生数348

8.6.2 两个正周期解的存在性349

8.6.3 周期解的稳定性354

习题8359

参考文献362