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绪论：偏文类大学生与高等数学1

0.1偏文类大学生为什么要学高等数学1

0.1.1为“用”而学：数学工具已在人文社科类各领域广泛应用1

0.1.2为“育”而学：数学教育对偏文类大学生有重要的训育作用2

0.2偏文类大学生怎样学高等数学5

0.2.1浅析数学的“层次”5

0.2.2浅析数学之“魂”7

0.2.3偏文类学生学习数学应该是“轻其技而重其魂”11

思考题012

第1章 数学成长的崎岖历程14

1.1数学史的分期14

1.1.1史前数学期（数学萌芽期）14

1.1.2初等数学期（古典数学期，常量数学期）15

1.1.3高等数学期（近代数学期，变量数学期）16

1.1.4现代数学期17

1.2数系和数集18

1.2.1数与进位制18

1.2.2复数系和其他的“数”20

1.2.3实数系的连续性22

1.2.4集合论简介24

1.3古希腊文明与第一次数学危机28

1.3.1古希腊文明——现代西方文明的源头29

1.3.2新生的数学学科遭遇第一次危机30

1.3.3第一次数学危机的历史意义32

1.4文艺复兴与第二次数学危机33

1.4.1文艺复兴：初等数学走到了变革的门槛33

1.4.2第一个决定性的步骤：创立解析几何，变量进入了数学35

1.4.3第二个决定性的步骤：建立微积分，开启了近代数学的主流37

1.4.4第三个决定性的步骤：克服第二次数学危机，奠定了数学大厦的底层基础40

1.5公理化情结与第三次数学危机45

1.5.1源于古希腊的“公理化传统”45

1.5.2近代的“公理化运动”47

1.5.3罗素给了数学界一记闷棍51

1.5.4永远的“不完全性”53

简短的小结56

思考题156

第2章 概念、命题与推理60

2.1概念与定义60

2.1.1概念60

2.1.2定义62

2.2命题与定理63

2.2.1判断与命题63

2.2.2公理与公设64

2.2.3定理与“定理群”65

2.2.4充分条件与必要条件67

2.3几种常用的数学推理68

2.3.1演绎与类比68

2.3.2化归与映射-反演70

2.3.3分析与综合72

2.3.4一般归纳法与数学归纳法73

2.3.5合情推理与猜想75

简短的小结75

思考题276

第3章 函数与极限77

3.1直角坐标系77

3.1.1实数轴与邻域77

3.1.2平面直角坐标系78

3.1.3三维空间中的直角坐标系79

3.2函数及其图形79

3.2.1函数的概念79

3.2.2函数的图形80

3.2.3函数的性质82

3.2.4复合函数与反函数84

3.3初等函数简介85

3.3.1基本初等函数85

3.3.2初等函数91

3.4极限与连续91

3.4.1极限的思想与表达91

3.4.2极限的性质与计算97

3.4.3函数的连续性101

简短的小结104

习题3105

第4章 微分学108

4.1导数的概念108

4.1.1两个问题“殊途同归”108

4.1.2导数的概念110

4.2导数的运算113

4.2.1导数的运算法则113

4.2.2基本初等函数的求导公式115

4.2.3高阶导数115

4.2.4隐函数的导数116

4.3微分117

4.3.1微分的概念117

4.3.2微分的简单应用118

4.4导数的应用119

4.4.1中值定理119

4.4.2洛必达法则121

4.4.3函数的单调性和凹凸性124

4.4.4极值与最值127

4.4.5简单图形的绘制129

简短的小结132

习题4132

第5章 积分学136

5.1不定积分136

5.1.1逆运算与原函数136

5.1.2不定积分的概念136

5.1.3基本积分表137

5.1.4不定积分的线性性质138

5.2定积分139

5.2.1求曲边图形的面积139

5.2.2定积分的概念141

5.2.3定积分的性质142

5.3微积分基本定理143

5.3.1微积分基本定理143

5.3.2牛顿-莱布尼茨公式144

5.4各类积分方法简介146

5.4.1第一类换元法146

5.4.2第二类换元法147

5.4.3分部积分法149

5.4.4奇偶函数与周期函数的定积分151

5.5反常积分153

5.6定积分的一些应用154

简短的小结156

习题5156

第6章 概率论初步159

6.1随机事件及其概率159

6.1.1随机事件与样本空间159

6.1.2概率的三个定义161

6.1.3概率加法定理163

6.1.4条件概率和概率乘法定理164

6.1.5全概率公式和贝叶斯公式166

6.2随机变量及其整体描述168

6.2.1随机变量的概念169

6.2.2离散型随机变量的整体描述170

6.2.3连续型随机变量的整体描述173

6.3随机变量的特征描述178

6.3.1随机变量的数学期望178

6.3.2随机变量的方差181

6.3.3几种常用随机变量的期望与方差183

简短的小结185

习题6186

第7章 数理统计初步189

7.1总体与样本189

7.2统计量190

7.2.1统计量及其观测值190

7.2.2几个常用统计量190

7.3参数估计191

7.3.1参数的点估计192

7.3.2参数的区间估计193

7.4假设检验194

7.4.1假设检验的思想194

7.4.2正态总体参数的假设检验195

7.4.3假设检验可能犯的错误196

简短的小结197

习题7197

第8章 多元线性方程组199

8.1线性方程组与高斯消去法200

8.1.1问题的提出200

8.1.2矩阵的概念203

8.1.3高斯消去法的矩阵形式205

8.2矩阵的代数运算207

8.2.1矩阵的线性运算207

8.2.2 矩阵的转置208

8.2.3矩阵的乘法209

8.3矩阵的初等变换与秩214

8.3.1矩阵的初等变换214

8.3.2矩阵的秩217

8.3.3逻辑的延伸219

8.4线性方程组的分类与解的表达220

8.4.1线性方程组的类型识别220

8.4.2用行初等变换求线性方程组的解223

8.4.3解的结构225

8.4.4不相容方程组的近似解232

简短的小结235

习题8236

第9章 数学的文化影响面面观243

9.1数学的文化地位243

9.2数学与天文学和历法244

9.2.1简单连分数245

9.2.2连分数与历法247

9.2.3开普勒的故事250

9.2.4牛顿：“站在巨人的肩上”256

9.3数学与美术257

9.3.1美哉“黄金分割”！258

9.3.2焦点透视体系与射影几何学265

9.3.3分形几何与绘画273

9.4数学与音乐278

9.4.1音乐是多维的宇宙语言278

9.4.2音律之谜279

9.4.3黄金分割与音乐292

9.4.4简谐振动与傅里叶分析294

9.5数学与语言学300

9.5.1索绪尔与现代语言学300

9.5.2数学和计算机对语言学的影响301

9.5.3我国现代语言学的发展303

9.6数学与经济学305

9.6.1数学与经济学的相互渗透和促进305

9.6.2两个例子307

9.7数学与其他人文社会学科313

9.7.1数学与人文精神313

9.7.2数学与宗教、哲学315

9.7.3数学与政治学、法学316

9.7.4数学与人口学、历史学321

9.7.5数学与诗歌、文学324

习题参考答案330

参考文献340

附表 标准正态分布表342