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第一章 实数1

1.实数集合及其有序化1

1.前言1

2.无理数定义2

3.实数集合的有序化4

4.实数的无尽十进小数的表示法5

5.实数集合的连续性7

6.数集合的界8

2.实数的四则运算10

7.实数的和的定义及其性质10

8.对称数·绝对值11

9.实数的积的定义及其性质13

3.实数的其他性质及其应用14

10.根的存在性·具有有理指数的乘幂14

11.具有任何实指数的乘幂16

12.对数17

13.线段的测量18

第二章 一元函数20

1.函数概念20

14.变量20

15.变量的变域21

16.变量间的函数关系·例题21

17.函数概念的定义22

18.函数的解析表示法24

19.函数的图形25

20.以自然数为变元的函数26

21.历史的附注28

2.几类最重要的函数29

22.初等函数29

23.反函数的概念32

24.反三角函数33

25.函数的叠置·结束语36

第三章 极限论38

1.函数的极限38

26.历史的说明38

27.数列38

28.序列的极限定义39

29.无穷小量41

30.例42

31.无穷大量44

32.函数极限的定义45

33.函数极限的另一定义47

34.例48

35.单侧极限53

2.关于极限的定理54

36.具有有限的极限的自然数变元的函数的性质54

37.推广到任意变量的函数情形56

38.在等式与不等式中取极限57

39.关于无穷小量的引理58

40.变量的算术运算59

41.未定式61

42.推广到任意变量的函数情形63

43.例64

3.单调函数67

44.自然数变元的单调函数的极限67

45.例69

46.关于区间套的引理70

47.在一般情形下单调函数的极限71

4.数e73

48.数e看作序列的极限73

49.数e的近似计算法74

50.数e的基本公式·自然对数76

5.收敛原理78

51.部分序列78

52.以自然数为变元的函数存在有限极限的条件80

53.任意变元的函数存在有限极限的条件81

6.无穷小量与无穷大量的分类83

54.无穷小量的比较83

55.无穷小量的尺度84

56.等价的无穷小量84

57.无穷小量的主部的分离86

58.应用问题86

59.无穷大量的分类88

第四章 一元连续函数89

1.函数的连续性（与间断点）89

60.函数在一点处的连续性的定义89

61.单调函数的连续性条件91

62.连续函数的算术运算91

63.初等函数的连续性92

64.连续函数的叠置94

65.几个极限的计算94

66.幂指数表达式96

67.间断点的分类·例子97

2.连续函数的性质98

68.关于函数取零值的定理98

69.应用于解方程100

70.关于中间值的定理101

71.反函数的存在性102

72.关于函数的有界性的定理103

73.函数的最大值与最小值104

74.一致连续性的概念105

75.关于一致连续性的定理106

第五章 一元函数的微分法108

1.导数及其计算108

76.动点速度的计算问题108

77.作曲线的切线的问题109

78.导数的定义111

79.计算导数的例114

80.反函数的导数116

81.导数公式汇集117

82.函数增量的公式118

83.计算导数的几个最简单法则119

84.复合函数的导数121

85.例122

86.单侧导数124

87.无穷导数124

88.特殊情况的例子125

2.微分126

89.微分的定义126

90.可微性与导数存在之间的关系127

91.微分的基本公式及法则129

92.微分形式的不变性130

93.微分作为近似公式的来源131

94.微分在估计误差中的应用132

3.高阶导数及高阶微分133

95.高阶导数的定义133

96.任意阶导数的普遍公式134

97.莱布尼茨公式136

98.高阶微分138

99.高阶微分形式不变性的破坏139

第六章 微分学的基本定理140

1.中值定理140

100.费马定理140

101.罗尔定理141

102.有限增量定理142

103.导数的极限144

104.有限增量定理的推广144

2.泰勒公式145

105.多项式的泰勒公式145

106.任意函数的展开式147

107.余项的其他形式150

108.已得的公式在初等函数上的应用152

109.近似公式·例153

第七章 应用导数来研究函数157

1.函数的变化过程的研究157

110.函数为常数的条件157

111.函数为单调的条件158

112.极大及极小·必要条件159

113.第一法则160

114.第二法则162

115.函数的作图163

116.例164

117.高阶导数的应用166

2.函数的最大值及最小值167

118.最大值及最小值的求法167

119.问题168

3.未定式的定值法169

120.0/0型未定式169

121.∞/∞型未定式172

122.其他类型的未定式173

第八章 多元函数176

1.基本概念176

123.变量之间的函数关系·例176

124.二元函数及其定义区域177

125.m维算术空间179

126.m维空间中的区域举例181

127.开区域及闭区域的一般定义183

128.m元函数184

129.多元函数的极限186

130.例188

131.累次极限189

2.连续函数191

132.多元函数的连续性及间断191

133.连续函数的运算193

134.关于函数取零值的定理194

135.波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理195

136.关于函数有界性的定理196

137.一致连续性196

第九章 多元函数的微分学199

1.多元函数的导数与微分199

138.偏导数199

139.函数的全增量200

140.复合函数的导数203

141.例204

142.全微分205

143.一阶微分形式的不变性207

144.全微分在近似计算中的应用209

145.齐次函数210

2.高阶导数与高阶微分212

146.高阶导数212

147.关于混合导数的定理213

148.高阶微分216

149.复合函数的微分218

150.泰勒公式219

3.极值、最大值与最小值220

151.多元函数的极值·必要条件220

152.静止点的研究（二元函数的情况）222

153.函数的最大值与最小值·例子225

154.问题227

第十章 原函数（不定积分）230

1.不定积分及其最简单的计算法230

155.原函数概念（及不定积分概念）230

156.积分与求面积问题233

157.基本积分表234

158.最简单的积分法则235

159.例237

160.换元积分法238

161.例240

162.分部积分法242

163.例242

2.有理式的积分244

164.有限形式积分法问题的提出244

165.简单分式及其积分245

166.真分式的积分246

167.奥斯特罗格拉茨基的积分有理部分分出法249

3.某些根式的积分法251

168.R （x，？）dx型根式的积分法251

169.二项式微分的积分法252

170.R（x，？）型根式的积分法·欧拉替换法254

4.含有三角函数及指数函数的式子的积分法258

171.微分式R（sin x， cos x）dx的积分法258

172其他情形概述260

5.椭圆积分261

173.定义261

174.化为典式262

第十一章 定积分264

1.定积分定义及存在条件264

175.解决面积问题的另一途径264

176.定义265

177.达布和267

178.积分存在条件269

179.可积函数类别270

2.定积分性质272

180.依有向区间的积分272

181.可用等式表出的性质273

182.可用不等式表出的性质274

183.定积分作为上限的函数277

3.定积分的计算及变换279

184.用积分和的计算279

185.积分学基本公式281

186.定积分中变量替换公式282

187.定积分的分部积分法283

188.沃利斯公式284

4.积分的近似计算285

189.梯形公式285

190.抛物线公式287

191.近似公式的余项289

192.例291

第十二章 积分学的几何应用及力学应用293

1.面积及体积293

193.面积概念的定义·可求积区域293

194.面积的可加性294

195.面积作为极限295

196.以积分表出面积296

197.体积概念的定义及其性质299

198.以积分表出体积301

2.弧长305

199.弧长概念的定义305

200.引理307

201.以积分表出弧长308

202.变弧及其微分311

203.空间曲线的弧长313

3.力学及物理上的数量的计算314

204.定积分应用程式314

205.旋转面面积316

206.曲线的静矩及质心的求法318

207.平面图形的静矩及质心的求法320

208.力功321

第十三章 微分学的一些几何应用323

1.切线及切面323

209.平面曲线的解析表示法323

210.平面曲线的切线324

211.切线的正方向328

212.空间曲线329

213.曲面的切面331

2.平面曲线的曲率332

214.凹向·拐点332

215.曲率概念334

216.曲率圆及曲率半径336

第十四章 数学分析基本观念发展简史339

1.微积分前史339

217.17世纪与无穷小分析339

218.不可分素方法339

219.不可分素学说的进一步发展341

220.求最大及最小（极大极小）·切线作法343

221.借助运动学想法来作切线345

222.切线作法问题与求积问题的互逆性345

223.上述的总结346

2.依萨克·牛顿（Isaac Newton， 1642—1727）347

224.流数计算法347

225.流数计算法的逆计算法·求积349

226.牛顿的“原理”及极限理论的萌芽351

227.牛顿的奠基问题351

3.莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646—1716）352

228.建立新计算法的初步352

229.最先刊行的微分学著作353

230.最先刊行的积分学著作354

231.莱布尼茨的其他著作·学派的建立355

232.莱布尼茨的奠基问题355

233.结尾语356

索引357