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第1章 函数、极限与连续1

1.1 集合1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 集合之间的运算2

1.1.3 区间和邻域2

习题1.13

1.2 函数及其特性3

1.2.1 映射3

1.2.2 函数4

1.2.3 函数的基本性质7

习题1.29

1.3 反函数与复合函数9

1.3.1 反函数9

1.3.2 复合函数10

习题1.311

1.4 初等函数11

1.4.1 基本初等函数11

1.4.2 初等函数15

1.4.3 双曲函数和反双曲函数15

习题1.416

1.5 数列极限16

1.5.1 数列的基本概念17

1.5.2 数列的极限18

1.5.3 收敛数列的性质20

习题1.521

1.6 函数的极限22

1.6.1 当x→∞时函数f(x)的极限22

1.6.2 当x→x0时函数f(x)的极限23

1.6.3 函数极限的性质25

习题1.625

1.7 两种特殊的量——无穷小量与无穷大量26

1.7.1 无穷小量26

1.7.2 无穷大量26

1.7.3 无穷小量与无穷大量的关系27

习题1.728

1.8 极限的运算法则28

1.8.1 无穷小的运算法则28

1.8.2 函数极限的四则运算法则29

1.8.3 复合函数的极限运算法则31

习题1.832

1.9 极限存在准则与两个重要极限32

1.9.1 极限的夹逼准则及应用32

1.9.2 单调有界准则及应用34

习题1.937

1.10 无穷小的比较38

1.10.1 无穷小比较的定义38

1.10.2 无穷小的等价代换——简称等价代换39

习题1.1041

1.11 函数的连续与间断41

1.11.1 函数在一点连续的概念41

1.11.2 函数在区间上连续的概念42

1.11.3 连续函数的运算性质及初等函数的连续性43

1.11.4 函数的间断点及其分类44

习题1.1146

1.12 闭区间上连续函数的性质46

1.12.1 最大值、最小值定理46

1.12.2 有界性定理47

1.12.3 介值定理47

1.12.4 一致连续性48

习题1.1249

本章小结49

一、内容概要49

二、解题指导49

复习题150

第2章 导数与微分52

2.1 函数的瞬时变化率——导数的概念52

2.1.1 概念引入52

2.1.2 导数的定义54

2.1.3 函数的可导性与连续性的关系56

2.1.4 几个基本初等函数的导数公式的推导57

习题2.158

2.2 导数的运算法则59

2.2.1 导数的四则运算法则59

2.2.2 反函数和复合函数的求导法则61

2.2.3 导数基本公式表65

习题2.266

2.3 高阶导数67

2.3.1 高阶导数的概念67

2.3.2 高阶导数的求导运算法则69

习题2.370

2.4 隐函数以及由参数方程确定的函数的求导法70

2.4.1 隐函数求导法70

2.4.2 由参数方程确定的函数的求导法74

2.4.3 相关变化率77

习题2.478

2.5 函数的微分及其应用79

2.5.1 微分的定义79

2.5.2 可微与可导的关系80

2.5.3 微分的几何意义80

2.5.4 微分基本公式和运算法则81

2.5.5 复合函数的微分—微分的形式不变性81

2.5.6 微分在近似计算中的应用82

习题2.583

本章小结84

一、内容概要84

二、解题指导84

三、数学史与人物介绍84

复习题286

第3章 微分中值定理与导数的应用88

3.1 微分中值定理88

3.1.1 罗尔中值定理88

3.1.2 拉格朗日中值定理91

3.1.3 柯西中值定理94

习题3.196

3.2 洛必达法则97

3.2.1 0/0型未定式的洛必达法则97

3.2.2 ∞/∞型未定式的洛必达法则99

3.2.3 其他类型的未定式100

3.2.4 注意事项举例101

习题3.2102

3.3 泰勒公式103

3.3.1 问题的提出103

3.3.2 系数的选取103

3.3.3 误差的确定104

3.3.4 泰勒中值定理105

习题3.3109

3.4 函数性态的研究109

3.4.1 函数的单调性109

3.4.2 函数的极值111

3.4.3 函数的最大（小）值113

3.4.4 曲线的凹凸性及拐点115

习题3.4119

3.5 函数图形的描绘121

3.5.1 曲线的渐近线121

3.5.2 函数图形的描绘121

习题3.5123

3.6 平面曲线的曲率124

3.6.1 弧微分124

3.6.2 曲率及其计算公式124

3.6.3 曲率圆与曲率半径127

习题3.6128

3.7 方程的近似解129

3.7.1 二分法129

3.7.2 牛顿迭代法130

习题3.7133

本章小结133

一、内容概要133

二、解题指导134

三、人物介绍134

复习题3137

第4章 不定积分140

4.1 不定积分的概念140

4.1.1 原函数与不定积分的概念140

4.1.2 基本积分表143

4.1.3 不定积分的性质144

习题4.1146

4.2 换元积分法147

4.2.1 第一类换元法147

4.2.2 第二类换元法153

习题4.2157

4.3 分部积分法159

习题4.3162

4.4 有理函数积分法163

4.4.1 有理函数的积分163

4.4.2 可化为有理函数的积分165

习题4.4167

本章小结168

一、内容概要168

二、解题指导168

复习题4169

第5章 定积分171

5.1 定积分的概念与性质171

5.1.1 中学基础知识回顾171

5.1.2 定积分的定义174

5.1.3 定积分的基本性质177

习题5.1182

5.2 微积分基本定理183

5.2.1 积分上限的函数184

5.2.2 微积分基本定理185

习题5.2189

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法192

5.3.1 定积分的换元积分法192

5.3.2 定积分的分部积分法195

5.3.3 定积分第二中值定理197

习题5.3198

5.4 反常积分200

5.4.1 无限区间上的反常积分200

5.4.2 无界函数的反常积分202

5.4.3 反常积分的柯西主值204

习题5.4204

5.5 反常积分的收敛判别法205

5.5.1 无限区间上反常积分的敛散性判别法205

5.5.2 无界函数的反常积分的敛散性判别法210

习题5.5211

本章小结212

一、内容概要212

二、解题指导212

三、历史人物介绍213

复习题5214

第6章 定积分的应用217

6.1 定积分的微元法217

6.2 定积分的几何应用218

6.2.1 平面图形的面积218

6.2.2 体积222

6.2.3 平面曲线的弧长226

6.2.4 旋转曲面的面积228

习题6.2229

6.3 定积分的物理应用230

6.3.1 变力沿直线做功230

6.3.2 液体的压力233

6.3.3 引力234

6.3.4 质量235

习题6.3235

6.4 定积分的经济应用236

6.4.1 总产量236

6.4.2 最大利润236

6.4.3 消费过剩237

习题6.4237

本章小结238

一、内容概要238

二、解题指导238

复习题6238

第7章 常微分方程240

7.1 微分方程的基本概念240

习题7.1243

7.2 可分离变量的一阶方程与齐次方程244

7.2.1 可分离变量的方程244

7.2.2 齐次方程247

7.2.3 可化为齐次的方程250

习题7.2251

7.3 一阶线性微分方程252

7.3.1 一阶线性方程252

7.3.2 伯努利方程256

习题7.3257

7.4 可降阶的高阶微分方程258

7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程259

7.4.2 y″=f(x,y′)型的微分方程259

7.4.3 y″=f(y,y′)型的微分方程260

习题7.4264

7.5 高阶线性微分方程264

7.5.1 二阶线性微分方程举例264

7.5.2 线性微分方程的解的结构266

7.5.3 常数变易法268

习题7.5271

7.6 常系数线性齐次微分方程271

习题7.6277

7.7 常系数线性非齐次微分方程277

7.7.1 f(x)=eλxxPm(x)型278

7.7.2 f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型280

习题7.7282

7.8 欧拉方程282

习题7.8284

本章小结284

一、内容概要285

二、解题指导285

三、数学史与人物介绍286

复习题7287

第8章 MATLAB软件与一元函数微积分290

8.1 MATLAB工作环境与编程290

8.1.1 MATLAB的安装与启动290

8.1.2 MATLAB工作环境290

8.1.3 MATLAB的帮助功能291

8.1.4 对输入指令的编辑及部分通用指令292

8.1.5 MATLAB的基本设计293

8.2 一元函数微分学实验293

8.2.1 曲线绘图293

8.2.2 MATLAB求函数极限297

8.2.3 MATLAB求导数297

8.2.4 MATLAB求极值和最值298

8.2.5 MATLAB求方程的根300

8.2.6 常微分方程符号求解301

8.3 一元函数积分学实验302

8.3.1 MATLAB求不定积分303

8.3.2 MATLAB求数值积分303

本章小结307

复习题8308

附录Ⅰ 二阶和三阶行列式简介309

附录Ⅱ 几种常用的曲线313

附录Ⅲ 积分表315

附录Ⅳ 部分常用数学公式325

习题答案与提示328