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目录1

在这本手册里能找到些什么1

平面解析几何3

§1．解析几何学概念3

§2．坐标4

§3．直角坐标系4

§4．直角坐标5

§5．象限5

§6．斜角坐标系6

§7．曲线方程7

§8．线与点的相互位置8

§9．两曲线的相互位置9

§10．两点间的距离9

§11．按定比分割线段10

§12．二阶行列式11

§11a．线段的二等分11

§13．三角形的面积12

§14．直线·就纵坐标解出的方程（斜截式）13

§15．平行于坐标轴的直线14

§16．直线的一般方程15

§17．按直线方程作图16

§18．两直线平行的条件17

§19．两直线的相交19

§20．两直线垂直的条件20

§21．两直线的夹角21

§22．三点在一条直线上的条件24

§23．过两点的直线的方程25

§24．直线束26

§25．通过已知点且平行于已知直线的直线的方程28

§26．通过已知点且垂直于已知直线的直线的方程29

§27．直线与两定点的相互位置30

§28．点至直线的距离30

§29．直线的极参数32

§30．直线的法线式方程34

§31．化直线方程成法线式35

§32．坐标轴上的截距36

§33．直线的截距式方程37

§34．坐标的变换（问题的提出）38

§35．原点的平移38

§36．轴的旋转40

§37．代数曲线及其阶41

§38．圆周43

§39．圆周的圆心和半径的求法44

§40．椭圆46

§41．椭圆的另一个定义48

§42．根据椭圆的轴作椭圆50

§43．双曲线51

§44．双曲线的形状·顶点和轴53

§46．双曲线的渐近线55

§45．根据双曲线的轴作双曲线55

§47．共轭双曲线56

§48．抛物线57

§49．按已知参数p作抛物线58

§50．方程形式如y＝ax2＋bx＋c的抛物线58

§51．椭圆和双曲线的准线61

§52．椭圆、双曲线和抛物线的共同定义63

§53．圆锥曲线65

§54．圆锥曲线的直径67

§55．椭圆的直径67

§56．双曲线的直径69

§57．抛物线的直径71

§58．二阶曲线72

§59．一般二次方程74

§60．二次方程的化简·概论74

§61．二次方程的初步变换75

§62．二次方程的结束变换77

§63 关于二次方程化简的方法84

§64．二阶曲线可分解的判别法85

§65．求构成可分解的二阶曲线的直线86

§66．二次方程的不变式89

§67．二阶曲线的三种类型92

§68．有心和无心二阶曲线95

§69．有心二阶曲线中心的求法96

§70．有心二阶曲线方程的化简98

§71．方程形式为y＝？的等边双曲线100

§72．方程形式为y＝？的等边双曲线101

§73．极坐标104

§74．极坐标与直角坐标的关系106

§75．阿基米德螺线108

§76．直线的极坐标方程109

§77．圆锥曲线的极坐标方程110

§79．几何学中的矢量112

立体解析几何112

§78．矢量和数量的概念112

§80．矢量代数113

§81．共线矢量113

§82．零矢量113

§83．矢量的相等114

§84．化矢量成有公起点的矢量115

§85．相反的矢量115

§86．矢量加法115

§87．几个矢量的和117

§88．矢量减法118

§89．用一数乘或除矢量119

§90．共线矢量的相互关系120

§91．点在轴上的投影121

§92．矢量在轴上的投影122

§93．矢量投影的基本定理123

§94．空间直角坐标系125

§95．点的坐标126

§96．矢量的坐标127

§97．用支量及坐标表示矢量的公式128

§98．坐标为已知的矢量的运算129

§99．用矢量的起点和终点矢径表示矢量的公式129

§100．矢量的长度130

§101．坐标轴与矢量的夹角130

§102．判定矢量共线（平行）的准则131

§103．按定比分割线段132

§104．两矢量的数量积133

§104a．数量积的物理意义134

§105．数量积的性质134

§106．基本矢量的数量积136

§107．用矢量坐标表示数量积的公式137

§108．两矢量垂直的条件138

§109．两矢量的夹角138

§110．三个矢量的右旋系统和左旋系统139

§111．两矢量的矢量积141

§112．矢量积的性质143

§113．基本矢量的矢量积144

§114．用矢量的坐标表示矢量积的公式145

§115．共面矢量147

§116．混合积147

§117．混合积的性质148

§118．三阶行列式149

§119．用矢量的坐标表示混合积的公式152

§120．共面性的坐标判别式153

§121．平行六面体的体积153

§122．双重矢量积154

§123．平面方程154

§124．坐标系中平面位置的特殊情形156

§125．平面平行的条件157

§126．平面垂直的条件157

§127．两平面的夹角158

§128．通过已知点且平行于已知平面的平面159

§129．通过三点的平面159

§130．坐标轴上的截距160

§131．平面的截距式方程160

§132．通过两点且垂直于已知平面的平面161

§133．通过一已知点且垂直于两平面的平面162

§134．三平面的交点163

§135．平面与两定点的相互位置164

§136．一点至平面的距离164

§137．平面的极参数165

§138．平面的法线式方程167

§139．将平面方程化成法线式168

§140．空间直线的方程170

§141．两个一次方程能代表直线的条件172

§142．直线与平面的相交173

§143．方向矢量174

§144．直线与坐标轴的夹角175

§145．两直线的夹角176

§146．直线与平面的夹角177

§147．直线与平面平行和垂直的条件177

§148．平面束178

§149．直线在坐标平面上的投影180

§150．直线的对称方程182

§151．将直线方程化为对称式184

§152．直线的参数方程185

§153．平面与由参数式给定的直线的交点186

§154．通过两已知点的直线方程187

§155．通过已知点且垂直于已知直线的平面方程187

§156．通过已知点且垂直于已知平面的直线方程188

§157．通过已知点和已知直线的平面方程188

§158．通过一已知点且平行于两已知直线的平面方程189

§160．通过已知直线且垂直于已知平面的平面方程190

§159．通过一已知直线且平行于另一已知直线的平面方程190

§161．自定点至已知直线的垂线方程191

§162．自已知点至已知直线的垂线长度192

§163．两直线相交或在一个平面上的条件193

§164．两已知直线的公垂线方程195

§165．两直线间的最短距离197

§165a．右旋直线对与左旋直线对199

§166．坐标的变换200

§167．曲面的方程201

§168．母线与某坐标轴平行的柱面202

§169．曲线的方程204

§170．曲线在坐标平面上的投影205

§171．代数曲面和它们的阶207

§172．球面207

§173．椭球面208

§174．单叶双曲面212

§175．双叶双曲面214

§176．二阶锥面215

§177．椭圆抛物面217

§178．双曲抛物面219

§179．二阶曲面表220

§180．二阶曲面的直母线223

§181．回转曲面225

§182．二阶与三阶行列式226

§183．高阶行列式229

§184．行列式的性质231

§185．计算行列式的实用方法234

§186．应用行列式研究和解方程组236

§187．两个二元方程237

§188．两个三元方程239

§189．两个三元齐次联立方程241

§190．三个三元方程242

§190a．n个n元联立方程247

§191．引言250

数学分析的基本概念250

§192．有理数251

§193．实数252

§194．数轴253

§195．变量与常量253

§196．函数253

§197．给定函数的方法255

§198．函数的定义域257

§199．区间259

§200．函数的分类261

§201．基本初等函数262

§202．函数的记号262

§203．数列的极限264

§204．函数的极限266

§205．函数极限的定义268

§206．常量的极限268

§208．无穷大量269

§207．无穷小量269

§209．无穷大量与无穷小量间的关系270

§210．有界量270

§211．极限概念的推广271

§212．无穷小量的基本性质272

§213．极限的基本定理273

§214．数e275

§215．？当x→0时的极限276

§216．等价无穷小量277

§217．无穷小量的比较278

§217a．变量的增量280

§218．函数在点上的连续性281

§219．在点上连续的函数的性质282

§219a．单侧极限·函数的跃度283

§220．函数在闭区间上的连续性284

§221．在闭区间上连续的函数的性质284

§223．速度286

微分286

§222．引言286

§224．导数的定义288

§225．切线290

§226．几个最简单的函数的导数291

§227．导数的性质292

§228．微分293

§229．微分的力学解释295

§230．微分的几何解释295

§231．可微函数295

§232．几个最简单的函数的微分298

§233．微分的性质299

§234．表示式f′（x）dx的不变性299

§235．用微分表示导数的公式300

§236．函数的函数（复合函数）301

§237．复合函数的微分301

§238．复合函数的导数302

§239．乘积的微分法304

§240．商（分式）的微分法305

§241．反函数306

§242．自然对数307

§243．对数函数的微分法309

§244．对数微分法311

§245．指数函数的微分法312

§246．三角函数的微分法313

§247．反三角函数的微分法314

§247a．几个供参考的例子316

§248．近似计算中的微分318

§249．微分在估计公式的误差中的应用320

§250．隐函数的微分法322

§251．曲线的参数式给定法324

§252．函数的参数式给定法326

§253．旋轮线328

§254．平面曲线的切线方程329

§254a．二阶曲线的切线331

§255．法线方程331

§256．高阶导数333

§257．二阶导数的力学意义334

§258．高阶微分335

§259．用微分表示高阶导数的公式338

§260．以参数式给定的函数的高阶导数339

§261．隐函数的高阶导数340

§262．莱布尼兹规则341

§263．罗耳定理343

§264．拉格朗日中值定理344

§265．有限增量公式346

§266．广义中值定理（科希定理）348

§267．？型不定式的决定351

§268．？型不定式的决定354

§269．其他类型的不定式355

§270．关于泰罗公式的历史知识357

§271．泰罗公式361

§272．泰罗公式在计算函数值中的应用364

§273．增函数与减函数373

§274．判定一点上函数增和减的准则374

§274a．判定区间上函数增和减的准则376

§275．极大值与极小值376

§276．极大值与极小值的必要条件377

§277．极大值和极小值的第一个充分条件378

§278．求极大值与极小值的规则379

§279．极大值和极小值的第二个充分条件383

§280．函数的最大值与最小值的求法386

§281．平面曲线的凸性·拐点393

§282．凹形394

§283．求拐点的规则395

§284．渐近线396

§285．平行于坐标轴的渐近线的求法397

§286．不平行于纵轴的渐近线的求法399

§287．作图法402

§288．方程的解·通论407

§289．方程的解·弦线法408

§290．方程的解·切线法411

§291．弦线切线联合法413

积分415

§292．引言415

§293．原函数417

§294．不定积分418

§295．积分的几何解释420

§296．根据初始条件计算积分常数423

§297．不定积分的性质424

§298．积分表425

§299．直接积分428

§300．换元法（利用辅助变量的积分）429

§301．分部积分法433

§302．某些三角表达式的积分436

§303．三角代换440

§304．有理函数442

§304a．整部的取出443

§305．关于积分有理分式的方法443

§306．最简单有理分式的积分445

§307．有理函数的积分（一般方法）449

§308．关于多项式的因式分解456

§309．关于以初等函数积出的可能性458

§310．几个含根式的积分458

§311．二项式微分的积分460

§312．∫R(x,？)dx型积分462

§313．∫R(sinx,cosx)dx型积分465

§314．定积分466

§315．定积分的性质470

§316．定积分的几何解释472

§317．定积分的力学解释473

§318．定积分值的估计475

§318a．布尼雅科夫斯基不等式476

§319．积分的中值定理477

§320．定积分作为上限的函数478

§321．积分的微分481

§322．微分的积分·牛顿-莱布尼兹公式482

§323．利用不定积分计算定积分485

§324．定积分的分部积分法486

§325．定积分的换元法487

§326．关于广义积分492

§327．无穷限积分493

§328．不连续函数的积分498

§329．关于积分的近似计算501

§330．矩形公式504

§331．梯形公式507

§332．辛卜森公式（抛物线梯形公式）508

§333．直角坐标系中的图形面积510

§334．列定积分公式的方法513

§335．极坐标系中的图形面积514

§336．利用横截面计算体积法516

§337．回转体的体积518

§338．平面曲线的弧长519

§339．弧的微分521

§340．极坐标系中的弧长及其微分522

§341．回转曲面的面积524

关于平面曲线和空间曲线的基本知识526

§342．曲率526

§343．平面曲线的曲率中心、曲率半径和曲率圆527

§344．平面曲线的曲率、曲率半径和曲率中心的公式528

§345．平面曲线的渐屈线532

§346．平面曲线的渐屈线的性质534

§347．平面曲线的渐伸线535

§348．空间曲线的参数式536

§349．螺旋线537

§350．空间曲线的弧长539

§351．空间曲线的切线540

§352．法面542

§353．变数的矢函数543

§354．矢函数的极限544

§355．矢函数的导数545

§356．矢函数的微分547

§357．矢函数的导数与微分的性质548

§358．密切面550

§359．主法线·伴随三面形552

§360．曲线与平面的相互位置553

§361．伴随三面形的基本矢量554

§362．空间曲线的曲率中心、曲率轴和曲率半径555

§363．空间曲线的曲率、曲率半径和曲率中心的公式556

§364．关于曲率的正负号559

§365．挠率560

级数563

§366．引言563

§367．级数的定义563

§368．收敛级数和发散级数564

§369．级数收敛的必要条件566

§370．级数的余部569

§371．级数的最简单运算570

§372．正项级数572

§373．正项级数的比较572

§374．正项级数的达朗倍尔准则575

§375．收敛性的积分判别法577

§376．交错级数·莱布尼兹准则579

§377．绝对收敛与条件收敛580

§378．适合于任何级数的达朗倍尔准则582

§379．级数的项的排列583

§380．级数的项的并组584

§381．级数的乘法586

§382．级数的除法590

§383．函数项级数592

§384．函数项级数的收敛域592

§385．关于一致收敛和非一致收敛595

§386．一致收敛与非一致收敛的定义598

§387．一致收敛与非一致收敛的几何解释598

§388．一致收敛的准则·正规级数599

§389．级数和的连续性600

§390．级数的积分602

§391．级数的微分606

§392．幂级数607

§393．幂级数的收敛区间和收敛半径608

§394．收敛半径的求法609

§395．按x-x0的幂排列的级数的收敛域612

§396．阿贝尔定理613

§397．幂级数的运算614

§398．幂级数的微分和积分616

§399．泰罗级数619

§400．函数的幂级数展开式620

§401．初等函数的幂级数展开式623

§402．级数在积分计算中的应用628

§403．双曲线函数630

§404．反双曲线函数633

§405．双曲线函数名称的来源636

§406．关于复数637

§407．实自变量复数值函数638

§408．复数值函数的导数640

§409．正数的复数次方641

§410．欧拉公式643

§411．三角级数644

§412．关于三角级数的历史知识645

§413．函数系cosnx,sinnx的正交性646

§414．欧拉-富里埃公式648

§415．富里埃级数651

§416．连续函数的富里埃级数652

§417．偶函数和奇函数的富里埃级数655

§418．不连续函数的富里埃级数660

多元函数的微分与积分664

§419．二元函数664

§420．三元及三元以上的函数665

§421．给定多元函数的方法666

§422．多元函数的极限668

§423．关于多元函数无穷小量的阶670

§424．多元函数的连续性672

§425．偏导数673

§426．二元函数的偏导数的几何解释674

§427．全增量与偏增量674

§428．偏微分675

§429．关于用微分表示偏导数的公式676

§430．全微分677

§431．二元函数全微分的几何解释678

§432．全微分表达式f′xdx＋f′ydy＋f′zdz的不变性679

§433．微分的技巧680

§434．可微函数681

§435．曲面的切面与法线682

§436．切面方程683

§437．法线方程685

§438．复合函数的微分685

§439 直角坐标换成极坐标的方法686

§440．复合函数的导数公式687

§441．全导数688

§442．多元隐函数的微分689

§443．高阶偏导数692

§444．高阶全微分694

§445．多次微分的技巧696

§446．微分的简化记号697

§447．多元函数的泰罗公式698

§448．多元函数的极值（极大值与极小值）700

§449．求极值的规则701

§450．极值的充分条件（两个自变量时的情形）703

§451．二重积分704

§452．二重积分的几何解释705

§453．二重积分的性质706

§455．二重积分的计算（最简单的情形）707

§454．二重积分值的估计707

§456．二重积分的计算（一般的情形）710

§457．点函数714

§458．二重积分的极坐标表达式715

§459．一块曲面的面积718

§460．三重积分720

§461．三重积分的计算（最简单的情形）721

§462．三重积分的计算（一般的情形）722

§464．三重积分的柱面坐标表达式724

§463．柱面坐标724

§465．球面坐标725

§466．三重积分的球面坐标表达式726

§467．列二重和三重积分公式的方法728

§468．转动惯量729

§469．某些物理量和几何量的二重积分表达式731

§470．某些物理量和几何量的三重积分表达式733

§471．曲线积分735

§472．曲线积分的力学意义737

§473．曲线积分的计算737

§474．格林公式739

§475．曲线积分不依赖于积分路线的条件740

§476．上节所述条件的另一种形式742

微分方程745

§477．基本概念745

§479．一阶微分方程的几何解释747

§478．一阶微分方程747

§480．等斜线750

§481．一阶微分方程的特解与通解751

§482．可分离变量的方程753

§483．变量的分离·奇解754

§484．全微分方程756

§484a．积分因子757

§485．齐次方程758

§486．一阶线性方程761

§487．克勒罗方程763

§488．包络765

§489．关于微分方程的可积性767

§490．一阶方程的欧拉近似积分法767

§491．微分方程的级数积分法769

§492．关于列微分方程的方法772

§493．二阶微分方程776

§495．几种可降阶的情形778

§494．n阶方程778

§496．二阶线性方程780

§497．二阶常系数线性方程782

§498．右端为零的二阶常系数线性方程783

§498a．上节中的第一与第三种情形间的关系787

§499．右端不为零的二阶常系数线性方程787

§500．任意阶线性方程794

§501．变常数法797

§502．微分方程组·线性方程组798

表801

Ⅰ．自然对数801

Ⅱ．自然对数换算成常用对数的表805

Ⅲ．常用对数换算成自然对数的表805

Ⅳ．指数函数ex806

Ⅴ．不定积分表808

笔划索引822