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符号说明1

第一章 赋范线性空间1

1.1 线性空间1

前言1

1.2 内积与内积空间11

1.3 范数与赋范线性空间16

1.4 收敛性22

1.收敛22

2.闭集与开集24

3.映射的连续性28

1.5 稠与可分性30

1.6 空间完备性·Banach 空间31

1.列紧性40

1.7 紧性与有限维空间40

2.范数的等价性42

3.有限维赋范线性空间的紧性刻画45

1.8 有限维赋范线性空间的最佳逼近问题47

1.9 Banach 不动点原理54

1.10 补遗——商空间64

习题66

第二章 Hilbert 空间的几何与最佳逼近问题71

2.1 正交与正交补71

2.2 闭凸集的最佳逼近问题与正交分解73

2.3 正交集与 Fourier 级数81

1.正交集与 Gram-Schmidt 正交化方法81

2.Fourier 级数83

2.4 可分的 Hilbert 空间及其同构性90

习题92

第三章 线性算子的一般理论94

3.1 有界线性算子94

1.线性算子与线性泛函94

2.线性算子的连续性与有界性96

3.2 有界线性算子空间105

1.有界线性算子空间105

2.一致算子收敛与强算子收敛107

3.算子的乘积108

3.3 一致有界原理109

3.4 逆算子定理·开映射定理116

3.5 闭线性算子与闭图象定理121

3.6 有界线性算子的谱理论125

习题132

第四章 线性泛函延拓与凸集分离136

4.1 Hahn-Banach 定理的解析形式136

1.线性泛函延拓定理136

2.有界线性泛函保范延拓定理及其推论139

3.子空间逼近的对偶关系144

4.2 Hahn-Banach 定理的几何形式146

1.Minkowski 泛函146

2.超平面与线性泛函149

3.凸集的分离性152

4.闭凸集逼近的对偶关系157

5.带不等式约束的凸规划问题160

习题164

第五章 弱收敛与共轭算子166

5.1 共轭空间166

5.2 Hilbert 空间的自共轭性174

5.3 二次共轭空间与空间自反性176

5.4 弱收敛178

1.弱收敛与弱*收敛179

2.弱*列紧183

5.5 Hilbert 共轭算子185

5.6 共轭双线性泛函与 Lax-Milgram 定理191

5.7 赋范线性空间中的共轭算子196

习题199

6.1 赋范线性空间中集的紧性202

第六章 紧线性算子及其谱性质202

6.2 Schauder 不动点原理209

6.3 紧线性算子的概念与基本性质213

6.4 紧线性算子的谱218

1.含紧线性算子的线性方程的可解性218

2.紧线性算子的谱性质228

3.Fredholm 积分方程的择一律230

6.5 自共轭算子与紧自共轭算子的谱性质232

习题239

附录Ⅰ 复习与补充知识241

Ⅰ.1 集及其运算241

Ⅰ.2 映射245

Ⅰ.3 可数集248

Ⅰ.4 上、下确界与上、下极限252

1.实数集的上、下确界252

2.实数列的上、下极限253

Ⅰ.5 H?lder 不等式与 Minkowski 不等式255

附录Ⅱ Lebesgue 积分理论256

Ⅱ.1 阶梯函数空间φ1256

1.阶梯函数256

2.阶梯函数的积分257

3.阶梯函数空间φ1259

Ⅱ.2 Lebesgue 积分265

1.Lebesgue 积分的概念265

2.Lebesgue 积分的基本性质267

3.L?[a，b]空间的完备性270

4.积分收敛定理271

5.Riemann 可积函数必 Lebesgue 可积277

Ⅱ.3 LP[a，b]空间279

1.可测函数279

2.P方L-可积函数280

3.Lp[a，b]空间的完备性283

Ⅱ.4 补充285

1.无限区间上的 Lebesgue 积分285

2.复值函数的 Lebesgue 积分285

3.L2[a，b]空间是 Hilbert 空间286

4.二重 Lebesgue 积分 Fub?ni 定理286

参考书目288

索引289