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1　函数的极限1

1.1　数列极限1

1.1.1　实数集与连续性公理1

1.1.2　数列极限的定义8

1.1.3　收敛数列15

1.1.4　实数集对极限运算的完备性定理28

习题1.135

1.2　函数极限40

1.2.1　函数在无限大处的极限40

1.2.2　函数在一点的极限44

1.2.3　函数在一点的单侧极限47

1.2.4　函数极限与数列极限的关系50

1.2.5　函数极限的性质及四则运算52

1.2.6　函数极限存在的判别法56

1.2.7　两个重要的函数极限60

1.2.8　无穷小量及其比较66

1.2.9　无穷大量及其比较71

习题1.275

1.3　函数的连续性79

1.3.1　函数连续性的概念79

1.3.2　连续函数的性质与四则运算86

1.3.3　初等函数的连续性89

1.3.4　双曲函数92

1.3.5　闭区间上连续函数的性质94

习题1.3104

总复习题107

2　单变量函数的微分学110

2.1　函数的微商110

2.1.1　微商的概念110

2.1.2　简单函数的微商115

2.1.3　微商的运算法则118

2.1.4　反函数的微商121

2.1.5　复合函数的微商123

2.1.6　参数方程所表示的函数的微商126

2.1.7　分段函数在分段点的微商129

2.1.8　微商公式表，例130

习题2.1137

2.2　函数的微分142

2.2.1　微分的概念142

2.2.2　微分的运算法则与公式146

2.2.3　函数值的近似计算148

2.2.4　误差的估计150

习题2.2153

2.3　高阶微商与高阶微分154

2.3.1　高阶微商154

2.3.2　莱布尼兹公式158

2.3.3　高阶微分163

习题2.3165

2.4　微分学的基本定理167

2.4.1　费马定理与罗尔定理167

2.4.2　中值定理171

习题2.4177

2.5　泰勒公式179

2.5.1　泰勒公式180

2.5.2　几个初等函数的泰勒展开式184

2.5.3　泰勒公式在近似计算中的应用188

习题2.5191

2.6　未定式的极限192

2.6.1　0/0型未定式192

2.6.2　∞／∞型未定式195

2.6.3　其它未定式197

2.6.4　由泰勒公式求极限200

习题2.6202

2.7　函数的增减性与极值204

2.7.1　函数增减性的判别204

2.7.2　函数的极值208

习题2.7217

2.8　函数图形的描绘220

2.8.1　曲线的凹凸性与扭转点220

2.8.2　曲线的渐近线225

2.8.3　作图的分析法，例228

习题2.8233

2.9　平面曲线的曲率235

2.9.1　曲率的概念235

2.9.2　曲率的计算237

2.9.3　曲率圆239

习题2.9241

总复习题241

3　单变量函数的积分学244

3.1　不定积分244

3.1.1　原函数与不定积分的概念244

3.1.2　不定积分的公式表与运算法则248

3.1.3　换元积分法253

3.1.4　分部积分法261

3.1.5　有理函数的积分266

3.1.6　含有简单根式的积分278

3.1.7 R（x,？）型函数的不定积分280

3.1.8　三角函数有理式的积分285

习题3.1289

3.2　定积分的概念与可积函数295

3.2.1　定积分概念的引入295

3.2.2　定积分的定义298

3.2.3　达布上和与达布下和302

3.2.4　可积函数类308

习题3.2314

3.3　定积分的性质及其计算316

3.3.1　定积分的基本性质316

3.3.2　微积分的基本定理328

3.3.3　定积分的换元法与分部积分法336

习题3.3345

3.4　定积分的近似计算350

3.4.1　梯形法351

3.4.2　抛物线法353

3.4.3　机械求积公式357

习题3.4360

3.5　定积分的应用361

3.5.1　微元分析法361

3.5.2　平面图形的面积362

3.5.3　平面曲线的弧长367

3.5.4　利用横截面计算体积372

3.5.5　旋转体的体积374

3.5.6　旋转体的侧面积375

3.5.7　函数的平均值377

3.5.8　变力作功379

3.5.9　液体的侧压力、引力382

习题3.5384

3.6　广义积分386

3.6.1　无穷区间上的积分386

3.6.2　无界函数的积分390

3.6.3　广义积分的柯西主值394

习题3.6395

总复习题397

4　可积常微分方程399

4.1　常微分方程的概念399

习题4.1406

4.2　一阶常微分方程407

4.2.1　可分离变量的方程407

4.2.2　齐次方程413

4.2.3　线性方程423

4.2.4　贝努利方程428

4.2.5　黎卡提方程430

习题4.2432

4.3　可降阶的二阶微分方程434

4.3.1　不显含未知函数的二阶方程434

4.3.2　不显含自变量的二阶方程438

习题4.3441

总复习题442

5　空间解析几何444

5.1　空间直角坐标系444

习题5.1446

5.2　向量代数447

5.2.1　向量的概念447

5.2.2　向量的加法与数乘448

5.2.3　向量的分解与坐标453

5.2.4　向量数量积457

5.2.5　向量的向量积463

5.2.6　向量的混合积468

5.2.7　二重向量积471

习题5.2472

5.3　平面与直线474

5.3.1　平面的方程474

5.3.2　两平面的关系477

5.3.3　点到平面的距离479

5.3.4　直线的方程480

5.3.5　两直线的位置关系483

5.3.6　点到直线的距离485

5.3.7　直线与平面的关系486

5.3.8　平面束的方程488

习题5.3490

5.4　常见曲面496

5.4.1　曲面方程的概念496

5.4.2　柱面497

5.4.3　旋转曲面499

5.4.4　椭球面500

5.4.5　单叶双曲面502

5.4.6　双叶双曲面504

5.4.7　二次锥面505

5.4.8　椭圆抛物面506

5.4.9　双曲抛物线507

习题5.4508

5.5　空间坐标变换510

5.5.1　坐标系的平移511

5.5.2　坐标系的旋转511

5.5.3　柱坐标与球坐标515

习题5.5517

总复习题518

参考答案520

附录552

1．希腊字母表552

2．常用曲线图553

3．简明积分表557