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上篇 中子输运问题的数值计算方法3

第一章 中子输运方程3

1.1 引言3

1.2 坐标系与基本定义5

1.2.1 坐标系6

1.2.2 中子密度、中子通量密度和中子流密度8

1.3 中子输运方程11

1.3.1 中子输运方程的建立11

1.3.2 定解条件16

1.3.3 不同坐标系中散度算子Ω·？φ的表达式18

1.4 中子输运方程的守恒形式24

1.4.1 在曲坐标系中中子输运的角度再分布24

1.4.2 输运算符的守恒形式25

1.5.1 中子积分输运方程29

1.5 中子输运方程的积分形式29

1.5.2 微分-积分输运方程和积分输运方程的等价性34

1.6 稳态输运方程的本征值问题36

1.6.1 k本征值问题37

1.6.2 α本征值问题40

1.7 中子输运方程近似解法概述42

1.8 分群中子输运方程48

1.8.1 散射源项的球谐函数展开48

1.8.2 分群中子输运方程及群常数50

1.9 核数据库和多群常数库55

1.9.1 核数据库55

1.9.2 多群常数库58

1.9.3 少群常数的计算及能群的归并60

参考文献62

2.1.1 一维平面几何PN近似方程64

2.1 一维情况下PN近似方程64

第二章 球谐函数方法64

2.1.2 边界条件68

2.1.3 扩散（P1）近似71

2.2 一维平面几何PN近似方程的数值解法72

2.2.1 PN近似的差分方程72

2.2.2 PN近似有限差分方程的解法75

2.3 一维曲线坐标系中的PN近似76

2.3.1 一维球坐标系76

2.3.2 一维圆柱坐标系78

2.4 双PN近似81

2.5 一般几何坐标系中的球谐函数（PN）近似方程84

2.5.1 三维直角坐标系中的PN近似方程84

2.5.2 二维直角坐标系中的PN近似方程88

2.5.3 二维（R-Z）圆柱坐标系中的PN近似方程89

2.5.4 一点注记90

2.6 扩散近似91

2.6.1 P1近似与扩散近似91

2.6.2 扩散近似的边界条件94

2.6.3 扩散理论的适用条件97

2.6.4 多群扩散方程98

2.7 中子通量密度球谐矩能谱的近似计算100

2.8 二阶型中子输运方程105

2.8.1 二阶偶对称型中子输运方程105

2.8.2 中子输运方程的变分原理108

2.8.3 球谐近似方法中的边界条件的变分求法109

2.9 中子输运方程的球谐函数-有限元方法115

2.9.1 二阶自共轭形式的SAAF中子输运方程115

2.9.2 SAAF方程的球谐函数展开118

2.9.3 PN方程的变分形式121

2.9.4 有限元离散122

参考文献128

3.1 一维球几何离散SN方法133

3.1.1 离散求积组的选取133

第三章 离散纵标（SN）方法133

3.1.2 离散有限差分方程的建立139

3.1.3 差分方程的求解145

3.2 二维及三维离散纵标（SN）方法147

3.2.1 离散求积组的选取147

3.2.2 角度变量的离散159

3.2.3 空间变量的离散162

3.2.4 差分方程的解170

3.3 加速收敛方法172

3.3.1 粗网格再平衡方法173

3.3.2 扩散综合加速收敛（DSA）方法177

3.3.3 契比雪夫加速收敛方法181

3.4.1 扫描方向与计算过程的稳定性184

3.4 数值计算中的一些问题184

3.4.2 差分格式的截断误差185

3.4.3 负中子通量密度及其修正187

3.5 射线效应190

3.5.1 射线效应190

3.5.2 一维情况下离散纵标方程和球谐函数法方程的等价性192

3.5.3 二维X-Y几何中虚源的构造195

3.6 离散纵标方法应用程序199

参考文献200

第四章 积分输运方法204

4.1 积分输运方法的基本原理204

4.1.1 基本方程204

4.1.2 输运近似209

4.2 中子飞行首次碰撞概率的计算212

4.2.1 二维多柱系统间的中子首次碰撞概率213

4.2.2 互易关系式218

4.3 一维圆柱栅元内中子空间-能量分布的计算220

4.3.1 基本方程220

4.3.2 栅元首次碰撞概率的计算223

4.3.3 碰撞概率方程的求解228

4.4 面流法——燃料组件内中子通量密度分布的计算229

4.4.1 穿透概率法230

4.4.2 QP1近似穿透概率法239

4.5 组合法245

参考文献246

第五章 多群扩散方程的数值解法248

5.1 源迭代法248

5.2 一维扩散方程的数值解法252

5.2.1 差分方程组的推导252

5.2.2 差分方程组的解法255

5.3 多维扩散方程的差分方法256

5.3.1 二维差分方程组257

5.3.2 三维问题的差分方程组260

5.4 差分方程的迭代解法262

5.5 中子扩散方程数值解法265

5.6 幂迭代的加速收敛方法268

5.6.1 粗网格再平衡方法268

5.6.2 契比雪夫多项式外推方法273

5.7 粗网节块方法278

5.7.1 引言278

5.7.2 节块展开法280

5.7.3 幂迭代的加速收敛技术291

5.8 节块内精细功率分布的重构293

5.8.1 均匀化节块内精细功率分布的重构294

5.8.2 节块角点中子通量密度值的确定297

5.8.3 燃料组件内精细功率分布的重构299

参考文献300

第六章 中子输运共轭方程和微扰理论303

6.1 共轭算子和中子输运共轭方程303

6.1.1 共轭算子303

6.1.2 中子输运共轭方程304

6.1.3 奇-偶二阶型中子输运方程的自共轭性307

6.2 多群P1近似和扩散近似共轭方程309

6.2.1 多群扩散近似共轭方程309

6.2.2 P1近似的共轭方程313

6.3 共轭算子的本征值及其本征函数315

6.4 中子价值318

6.5 中子共轭方程的建立与物理解释326

6.5.1 中子输运共轭方程326

6.5.2 分群中子扩散的共轭方程328

6.6.1 中子输运共轭方程的积分方程形式331

6.6 积分输运共轭方程331

6.6.2 中子积分输运方程的共轭方程334

6.7 微扰理论及其应用337

6.7.1 扰动方程337

6.7.2 中子输运方程的扰动方程339

6.7.3 分群扩散方程的扰动方程341

6.8 微扰理论的一些应用343

参考文献345

下篇 中子输运问题的随机模拟349

第七章 蒙特卡罗方法基本原理349

7.1 蒙特卡罗方法概述349

7.1.1 方法简介349

7.1.2 误差估计351

7.1.3 方法特点353

7.2 随机数产生355

7.2.1 随机数与伪随机数355

7.2.2 伪随机数的产生357

7.2.3 随机数发生器358

7.3 随机变量的抽样360

7.3.1 离散型随机变量的抽样360

7.3.2 连续型随机变量的抽样362

7.4 随机抽样方法365

7.4.1 偏倚抽样366

7.4.2 舍选抽样367

7.4.3 复合抽样370

7.4.4 分层抽样371

7.4.5 系统抽样373

7.4.6 等概率抽样374

参考文献375

第八章 中子输运问题的蒙特卡罗模拟377

8.1 中子输运方程的积分形式377

8.2.1 发射密度方程的逐次逼近解380

8.2 发射密度方程的模拟380

8.2.1 发射密度方程的随机模拟381

8.3 中子通量密度的计算387

8.3.1 吸收估计388

8.3.2 碰撞估计389

8.3.3 期望估计390

8.3.4 径迹长度估计391

8.4 点通量密度的计算393

8.4.1 角通量密度的全空间形式393

8.4.2 点通量密度的指向概率法395

8.4.3 点估计改进措施398

8.5 各种通量密度估计方法利弊分析399

8.6 中子跟踪过程401

8.6.1 源参量的抽样402

8.6.2 碰撞距离的抽样404

8.6.3 碰撞核及反应类型的确定405

8.6.4 散射后中子能量和方向的确定407

8.6.5 次级粒子的处理411

8.6.6 判断中子历史是否结束412

8.6.7 计算流程412

8.7 临界计算414

8.7.1 keff特征值计算414

8.7.2 α特征值计算416

8.8 响应量的计算417

8.9 几何描述419

8.9.1 组合几何419

8.9.2 碰撞点几何块的确定420

8.9.3 点到界面交点的计算422

8.10 小结423

参考文献423

9.1 多群中子输运方程的随机模拟425

第九章 蒙特卡罗多群中子输运计算425

9.2 多群散射角分布及其处理430

9.2.1 一般高斯求积430

9.2.2 广义高斯求积431

9.2.3 散射极角余弦的确定434

9.2.4 P1和P3的处理435

参考文献439

第十章 降低方差技巧440

10.1 蒙特卡罗重要抽样440

10.1.1 重要函数的构造441

10.1.2 重要函数的使用445

10.2 输运计算中的降低方差技巧445

10.2.1 轮盘赌与分裂446

10.2.2 指数变换447

10.2.4 源方向偏倚抽样448

10.2.3 权窗448

10.2.5 隐俘获450

10.2.6 强迫碰撞450

10.3 体探测器估计的指向概率法451

10.3.1 两角度系统之间的关系453

10.3.2 指向概率的计算455

10.4 MCNP程序简介458

10.5 小结463

参考文献463

第十一章 粒子输运问题蒙特卡罗并行计算465

11.1 并行计算机与并行系统465

11.2 并行随机数产生466

11.2.1 跳跃法467

11.2.2 分段法468

11.3.1 并行计算要点469

11.3 定常粒子输运问题的并行计算469

11.3.2 并行加速比470

11.3.3 并行容错和负载平衡471

11.3.4 MCNP,KENO程序并行现状472

11.4 MCNP程序的MPI并行化473

11.4.1 并行预处理473

11.4.2 并行程序设计474

11.4.3 并行编程系统476

11.4.4 并行重新启动477

11.5 提高并行加速比的措施477

11.5.1 动态负载平衡477

11.5.2 降低I/O措施478

参考文献478

附录1 勒让德多项式和球谐函数480

附录2 Bickley函数484

参考文献486