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第1篇 计算方法1

1 绪论1

1.1 计算方法的对象与特点1

1.2 误差的来源及误差的基本概念1

1.2.1 误差的来源1

1.2.2 绝对误差与绝对误差限2

1.2.3 相对误差与相对误差限2

1.2.4 有效数字3

1.2.5 数据误差的影响4

1.3.1 数的浮点表示5

1.3 机器数系5

1.3.2 机器数系6

1.3.3 机器数的相对误差限7

1.4 误差危害的防止7

1.4.1 使用数值稳定的计算公式8

1.4.2 尽量避免两相近数相减9

1.4.3 尽量避免用绝对值很大的数作乘数10

1.4.4 防止大数“吃掉”小数11

1.4.5 注意简化计算步骤，减少运算次数11

小结12

复习思考题13

习题113

2.1 问题的提出15

2 方程求根15

2.2 二分法16

2.3 迭代法18

2.3.1 迭代格式的构造及其敛散性条件18

2.3.2 迭代法的局部收敛性23

2.3.3 迭代法的收敛速度24

2.3.4 埃特金加速法26

2.4 牛顿法与割线法28

2.4.1 牛顿迭代公式28

2.4.2 局部收敛性28

2.4.3 大范围收敛性30

2.4.4 割线法31

2.5 代数方程求根的劈因子法32

2.6 应用实例：任一平面与螺旋线全部交点的计算35

2.6.1 数学模型35

2.6.2 关于交点个数的讨论36

2.6.3 根的求法39

2.6.4 根的个数趋于无穷时的“实时”求交点方法40

小结41

复习思考题41

习题242

3 线性方程组数值解法44

3.1 问题的提出44

3.2.1 三角方程组的解法45

3.2 消去法45

3.2.2 高斯消去法46

3.2.3 追赶法50

3.2.4 列主元高斯消去法51

3.3 矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用53

3.3.1 矩阵分解的紧凑格式53

3.3.2 改进平方根法56

3.3.3 列主元的三角分解法58

3.4 向量范数和矩阵范数59

3.4.1 向量范数60

3.4.2 矩阵范数60

3.5.1 迭代法及其收敛性62

3.5 迭代法62

3.5.2 雅可比迭代法66

3.5.3 高斯-赛德尔迭代法68

小结70

复习思考题71

习题371

4 插值法74

4.1 问题的提出74

4.1.1 插值函数的概念74

4.1.2 插值多项式的存在唯一性75

4.2.1 基本插值多项式76

4.2 拉格朗日插值多项式76

4.2.2 拉格朗日插值多项式77

4.2.3 插值余项77

4.2.4 一类带导数插值条件的插值80

4.3 差商、差分及牛顿插值多项式81

4.3.1 差商及牛顿插值多项式82

4.3.2 差分及等距节点插值公式86

4.4 高次插值的缺点及分段插值88

4.4.1 高次插值的误差分析88

4.4.2 分段线性插值89

4.4.3 分段二次插值90

4.5 样条插值函数91

4.5.1 三次样条插值函数92

4.5.2 三次样条插值函数的求法92

4.6 应用实例：丙烷导热系数的计算96

小结98

复习思考题98

习题499

5 曲线拟合101

5.1 最小二乘原理101

5.2 超定方程组的最小二乘解106

5.3 应用实例：价格、广告与赢利108

小结110

复习思考题110

习题5111

6 数值积分与数值微分112

6.1 数值积分问题的提出112

6.2 插值型求积公式113

6.2.1 插值型求积公式113

6.2.2 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式114

6.2.3 插值型求积公式的截断误差与代数精度115

6.2.4 梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的截断误差117

6.3 复化求积公式118

6.3.1 复化梯形公式118

6.3.2 复化辛卜生公式119

6.3.3 复化柯特斯公式120

6.3.4 复化求积公式的阶121

6.3.5 步长的自动选择121

6.4 龙贝格求积公式122

6.5 高斯求积公式简介126

6.6 重积分的计算129

6.7 数值微分131

6.7.1 数值微分问题的提出131

6.7.2 插值型求导公式及截断误差133

6.8 应用实例：椭圆轨道长度的计算135

复习思考题137

习题6137

小结137

7 常微分方程数值解法140

7.1 问题的提出140

7.2 欧拉方法140

7.2.1 欧拉公式140

7.2.2 梯形公式143

7.2.3 改进欧拉公式143

7.2.4 整体截断误差146

7.3 龙格-库塔方法146

7.3.1 龙格-库塔方法的基本思想146

7.3.2 二阶龙格-库塔公式147

7.3.3 高阶龙格-库塔公式148

7.4 线性多步法151

7.4.1 阿当姆斯内插公式152

7.4.2 阿当姆斯外推公式153

7.4.3 阿当姆斯预测校正公式154

7.5 一阶方程组与高阶方程156

7.5.1 一阶方程组156

7.5.2 化高阶方程为一阶方程组157

7.6 应用实例：摆球振动159

小结161

复习思考题161

习题7162

8.2 按模最大与最小特征值的求法164

8.1 问题的提出164

8 矩阵的特征值及特征向量的计算164

8.2.1 幂法165

8.2.2 反幂法170

8.3 计算实对称矩阵特征值的雅可比法171

8.4 QR方法179

8.4.1 矩阵A的QR分解179

8.4.2 QR算法182

小结183

复习思考题183

习题8183

1.1 舍入误差与数值稳定性185

1 舍入误差与数值稳定性185

第2篇 计算实习185

实习题1188

2 方程求根188

2.1 二分法188

2.2 牛顿迭代法190

实习题2193

3 线性方程组数值解法193

3.1 列主元高斯消去法193

3.2 矩阵直接三角分解法196

3.3 迭代法198

3.3.1 雅可比迭代法198

3.3.2 高斯-赛德尔迭代法200

实习题3202

4 插值法203

4.1 拉格朗日插值多项式203

4.2 牛顿插值多项式205

实习题4206

5 曲线拟合207

5.1 最小二乘法207

实习题5210

6 数值积分210

6.1 复化梯形公式与复化辛卜生公式的自适应算法211

6.1.1 复化辛卜生公式211

6.1.2 自适应梯形公式212

6.2 龙贝格算法214

实习题6216

7 常微分方程数值解法216

7.1 改进欧拉方法217

7.2 龙格-库塔方法219

7.3 阿当姆斯方法221

实习题7223

8 矩阵的特征值与特征向量的计算224

8.1 幂法224

实习题8226

参考文献228