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第1章 动力系统引言1

1.1动力系统的定义1

1.1.1状态空间1

1.1.2时间4

1.1.3发展算子4

1.1.4动力系统定义6

1.2轨道与相图7

1.3不变集9

1.3.1定义与类型9

1.3.2 Smale马蹄10

1.3.3不变集的稳定性14

1.4微分方程与动力系统16

1.5 Poincare映射21

1.5.1时间-移位映射21

1.5.2 Poincare映射和环的稳定性23

1.5.3周期强迫系统的Poincare映射27

1.6练习28

1.7附录A：由反应扩散方程定义的无穷维动力系统30

1.8附录B：文献评注33

第2章 动力系统的拓扑等价性、分支与结构稳定性34

2.1动力系统的等价性34

2.2一般平衡点与不动点的拓扑分类40

2.2.1连续-时间系统的双曲平衡点40

2.2.2离散-时间系统的双曲不动点43

2.2.3双曲极限环47

2.3 分支与分支图49

2.4分支的拓扑规范形54

2.5结构稳定性58

2.6练习62

2.7附录：文献评注65

第3章 连续-时间系统平衡点的单参数分支68

3.1最简单的分支条件68

3.2折分支规范形69

3.3一般折分支72

3.4 Hopf分支规范形74

3.5 一般Hopf分支78

3.6练习91

3.7附录A：引理3.2的证明95

3.8附录B：Poincare规范形97

3.9附录C：文献评注104

第4章 离散-时间系统不动点的单参数分支106

4.1最简单的分支条件106

4.2折分支规范形109

4.3 一般折分支110

4.4翻转分支的规范形113

4.5一般翻转分支115

4.6 Neimark-Sacker分支的“规范形”118

4.7一般Neimark-Saker分支122

4.8练习129

4.9 附录A：Feigenbaum普适性130

4.10附录B：引理4.3的证明133

4.11附录C：文献评注139

第5章 n维动力系统的平衡点分支与周期轨道分支141

5.1中心流形定理141

5.1.1连续-时间系统的中心流形141

5.1.2离散-时间系统的中心流形146

5.2依赖于参数的系统的中心流形148

5.3极限环分支151

5.3.1环的折分支152

5.3.2环的翻转分支152

5.3.3环的Neimark-Sacker分支152

5.4中心流形的计算153

5.4.1 ODEs的限制规范化方程154

5.4.2映射的限制规范化方程163

5.5练习168

5.6附录A：反应扩散系统的Hopf分支171

5.7附录B：文献评注174

第6章 双曲平衡点的同宿轨道分支与异宿轨道分支176

6.1同宿轨道和异宿轨道176

6.2 Andronov-Leontovich定理180

6.3三维系统中的同宿分支：Shil′nikov定理191

6.4 n维系统中的同宿分支203

6.4.1正则同宿轨道：Melnikov积分203

6.4.2同宿中心流形207

6.4.3 Rn中一般同宿分支209

6.5练习211

6.6附录A：四维系统中的焦-焦点同宿分支214

6.7附录B：文献评注218

第7章 连续-时间动力系统中的其他单参数分支221

7.1非双曲平衡点的同宿轨道余维1分支221

7.1.1平面上的鞍-结点同宿分支222

7.1.2 R3中的鞍-结点和鞍-鞍点同宿分支224

7.2极限环的同宿轨道分支232

7.2.1双曲环的非横截同宿轨道232

7.2.2非双曲极限环的同宿轨道236

7.3 不变环面上的分支238

7.3.1 Poincare映射的简化238

7.3.2旋转数与轨道结构239

7.3.3结构稳定性和分支241

7.3.4 Neimark-Sacker分支附近的锁相：Arnold舌242

7.4对称系统中的分支245

7.4.1对称系统的一般性质245

7.4.2 Z2等价系统247

7.4.3 Z2等价系统平衡点的余维1分支248

7.4.4 Z2等价系统中环的余维1分支250

7.5练习255

7.6附录：文献评注257

第8章 连续-时间动力系统平衡点的双参数分支259

8.1平衡点的余维2分支一览259

8.1.1余维1分支曲线259

8.1.2余维2分支点262

8.2尖分支265

8.2.1规范形的推导265

8.2.2规范形的分支图268

8.2.3高阶项的影响269

8.3 Bautin（广义Hopf）分支271

8.3.1规范形的推导271

8.3.2规范形的分支图275

8.3.3 高阶项的影响276

8.4 Bogdanov-Takens（零-零）分支277

8.4.1规范形的推导277

8.4.2 规范形的分支图284

8.4.3高阶项的影响287

8.5折-Hopf分支292

8.5.1规范形的推导292

8.5.2截断规范形的分支图298

8.5.3高阶项的影响303

8.6 Hopf-Hopf分支308

8.6.1规范形的推导309

8.6.2截断规范形的分支图316

8.6.3高阶项的影响325

8.7 n维系统的临界规范形327

8.7.1方法327

8.7.2尖分支329

8.7.3 Bautin分支331

8.7.4 Bogdanov-Takens分支333

8.7.5折-Hopf分支335

8.7.6 Hopf-Hopf分支339

8.8练习341

8.9附录A：Bogdanov规范形的极限环与同宿轨道353

8.10附录B：文献评注361

第9章 离散-时间动力系统不动点的双参数分支364

9.1不动点的余维2分支一览364

9.2尖分支368

9.3广义翻转分支370

9.4 Chenciner（广义Neimark-Sacker）分支373

9.5强共振377

9.5.1流近似377

9.5.2 1：1共振379

9.5.3 1：2共振390

9.5.4 1：3共振401

9.5.5 1：4共振408

9.6折-翻转分支418

9.7 n维映射的临界规范形431

9.7.1尖分支432

9.7.2 广义翻转分支433

9.7.3 Chenciner分支434

9.7.4 1：1共振436

9.7.5 1：2共振437

9.7.6 1：3共振438

9.7.7 1：4共振439

9.7.8折-翻转分支440

9.8极限环的余维2分支441

9.9练习448

9.10附录：文献评注452

第10章 分支的数值分析455

10.1在固定参数值的数值分析455

10.1.1平衡点的定位455

10.1.2 Newton法的修正457

10.1.3平衡点分析460

10.1.4极限环的定位463

10.2单参数分支分析468

10.2.1平衡点与环的延拓469

10.2.2余维1分支的探测和定位473

10.2.3 余维1分支分析477

10.2.4分枝点484

10.3双参数分支分析489

10.3.1平衡点与不动点的余维1分支的延拓490

10.3.2极限环余维1分支的延拓495

10.3.3余维1同宿轨道的延拓498

10.3.4余维2分支的探测、定位与分析501

10.4延拓策略503

10.5练习504

10.6附录A：Newton法的收敛性定理512

10.7附录B：双交错矩阵积512

10.8附录C：余维2同宿分支的探测518

10.8.1通过特征值可探测的奇异性519

10.8.2轨道翻转与倾角翻转521

10.8.3沿着鞍-结点同宿曲线的奇异性524

10.9附录D：文献评注525

附录 代数、分析和几何的基本概念530

A.1代数530

A.1.1矩阵530

A.1.2向量空间与线性变换532

A.1.3 特征向量与特征值533

A.1.4不变子空间、广义特征向量与Jordan标准型534

A.1.5 Fredholm交替定理535

A.1.6群535

A.2分析536

A.2.1隐函数定理和反函数定理536

A.2.2 Taylor展开537

A.2.3 距离空间、赋范空间与其他空间538

A.3几何539

A.3.1集合539

A.3.2映射540

A.3.3流形540

参考文献542

索引567