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第1章 金融衍生品概论1

1.1 引言1

1.2 定义1

1.3 衍生品的分类1

1.3.1 现金交易市场2

1.3.2 价格发现市场3

1.3.3 到期日3

1.4 远期合约和期货3

1.4.1 远期合约3

1.4.2 期货4

1.4.3 回购协议、反向回购协议及弹性回购协议4

1.5 期权5

1.6 互换7

1.6.1 一个简单的利率互换7

1.6.2 可取消互换8

1.7 小结8

1.8 参考阅读8

1.9 习题9

第2章 套利定理入门10

2.1 引言10

2.2 记号11

2.2.1 资产价格11

2.2.2 状态11

2.2.3 收益和回报12

2.2.4 证券投资组合12

2.2.5 资产定价的一个简单例子13

2.2.6 套利定理初探14

2.2.7 与套利定理相关的变量15

2.2.8 综合概率的应用15

2.2.9 鞅和下鞅17

2.2.10 标准化18

2.2.11 回报率均衡18

2.2.12 无套利条件19

2.3 一个具体的例子19

2.3.1 问题1：套利的可能性20

2.3.2 问题2：无套利价格20

2.3.3 一类不确定性21

2.4 应用：二叉树模型21

2.5 红利与外币23

2.5.1 有分红的情况23

2.5.2 外币的情况25

2.6 推广25

2.6.1 时间指标26

2.6.2 状态26

2.6.3 折现26

2.7 小结：资产定价方法26

2.8 参考阅读27

2.9 附录：套利定理的一般形式27

2.10 习题28

第3章 确定性微积分回顾31

3.1 引言31

3.1.1 信息流31

3.1.2 对随机行为建模31

3.2 一些常规微积分工具32

3.3 函数32

3.3.1 随机函数32

3.3.2 函数举例33

3.4 收敛和极限35

3.4.1 导数35

3.4.2 链式法则38

3.4.3 积分39

3.4.4 分部积分42

3.5 偏导数43

3.5.1 例子44

3.5.2 全微分44

3.5.3 泰勒展开式44

3.5.4 常微分方程47

3.6 小结48

3.7 参考阅读48

3.8 习题48

第4章 衍生品定价：模型和记号51

4.1 引言51

4.2 定价函数51

4.2.1 远期合约52

4.2.2 期权53

4.3 应用：另一个定价模型54

4.4 问题56

4.5 小结57

4.6 参考阅读58

4.7 习题58

第5章 概率论工具59

5.1 简介59

5.2 概率59

5.2.1 例子60

5.2.2 随机变量60

5.3 矩61

5.3.1 一阶矩和二阶矩61

5.3.2 高阶矩62

5.4 条件期望62

5.4.1 条件概率63

5.4.2 条件期望的性质64

5.5 一些重要的模型64

5.5.1 金融市场中的两点分布64

5.5.2 极限性质65

5.5.3 矩66

5.5.4 正态分布67

5.5.5 泊松分布68

5.6 指数分布69

5.7 伽马分布70

5.8 马尔可夫过程及与实际问题的关联71

5.8.1 关联性72

5.8.2 向量过程72

5.9 随机变量的收敛性74

5.9.1 收敛的种类及其用途74

5.9.2 弱收敛75

5.10 小结77

5.11 参考阅读77

5.12 习题77

第6章 鞅及鞅的表示79

6.1 引言79

6.2 定义79

6.2.1 符号79

6.2.2 连续时间鞅80

6.3 鞅在资产定价中的应用81

6.4 随机建模中鞅的相关知识82

6.5 鞅的路径性质84

6.6 鞅的例子87

6.6.1 例1：布朗运动87

6.6.2 例2：平方过程88

6.6.3 例3：指数过程89

6.6.4 例4：右连续鞅89

6.7 最简单的鞅89

6.7.1 一个应用90

6.7.2 一个评注91

6.8 鞅表示91

6.8.1 例子91

6.8.2 Doob-Meyer分解94

6.9 随机积分的第一个例子96

6.10 鞅方法与定价97

6.11 定价方法98

6.11.1 套期保值98

6.11.2 时间动态99

6.11.3 标准化和风险中性概率100

6.11.4 总结102

6.12 小结102

6.13 参考阅读103

6.14 习题103

第7章 随机环境下的微分105

7.1 引言105

7.2 问题起源106

7.3 一个讨论微分的框架108

7.4 增量误差的度量110

7.5 命题1的隐含结论112

7.6 归并结果113

7.7 小结115

7.8 参考阅读115

7.9 习题115

第8章 维纳过程、列维过程及金融市场上的罕见事件117

8.1 引言117

8.2 两个初始模型118

8.2.1 维纳过程118

8.2.2 泊松过程120

8.2.3 例子121

8.2.4 列维过程122

8.2.5 回到罕见事件123

8.3 离散时间上的随机微分方程123

8.4 罕见事件和普通事件的特征124

8.4.1 普通事件126

8.4.2 罕见事件128

8.5 罕见事件的模型129

8.6 有用的矩130

8.7 小结132

8.8 实际应用中的罕见和普通事件133

8.8.1 二叉树模型133

8.8.2 普通事件134

8.8.3 罕见事件134

8.8.4 累积变化值的特征135

8.9 参考阅读137

8.10 习题137

第9章 随机积分139

9.1 引言139

9.1.1 伊藤积分与随机微分方程140

9.1.2 实际应用中的伊藤积分141

9.2 伊藤积分141

9.2.1 黎曼-斯蒂尔切斯积分142

9.2.2 随机积分和黎曼和143

9.2.3 定义：伊藤积分145

9.2.4 一个说明性的例子145

9.3 伊藤积分的性质150

9.3.1 伊藤积分是鞅150

9.3.2 路径积分153

9.3.3 伊藤等距154

9.4 伊藤积分的其他性质155

9.4.1 存在性155

9.4.2 相关性155

9.4.3 可加性156

9.5 关于带跳过程的积分156

9.6 小结156

9.7 参考阅读156

9.8 习题157

第10章 伊藤引理158

10.1 引言158

10.2 导数的类型158

10.3 伊藤引理159

10.3.1 随机微积分中“大小”的概念161

10.3.2 一阶项163

10.3.3 二阶项163

10.3.4 含有交叉乘积的项164

10.3.5 余项中的项164

10.4 伊藤公式164

10.5 伊藤引理的应用165

10.5.1 作为链式法则的伊藤公式165

10.5.2 作为积分工具的伊藤公式166

10.6 伊藤引理的积分形式168

10.7 更复杂环境下的伊藤公式168

10.7.1 多变量情况168

10.7.2 伊藤公式和跳跃170

10.7.3 半鞅的伊藤引理171

10.8 小结172

10.9 参考阅读172

10.10 习题172

第11章 衍生品价格的动态变化174

11.1 引言174

11.2 随机微分方程对应路径的几何描述175

11.3 随机微分方程的求解176

11.3.1 解意味着什么176

11.3.2 解的种类176

11.3.3 哪一种解更好177

11.3.4 关于强解的讨论178

11.3.5 随机微分方程解的检验179

11.3.6 一个重要的例子181

11.4 随机微分方程的主要模型183

11.4.1 线性常系数随机微分方程183

11.4.2 几何随机微分方程184

11.4.3 平方根过程185

11.4.4 均值回归过程186

11.4.5 Ornstein-Uhlenbeck过程187

11.5 随机波动率187

11.6 小结190

11.7 参考阅读190

11.8 习题191

第12章 衍生品定价：偏微分方程193

12.1 引言193

12.2 建立无风险投资组合193

12.3 偏微分方程方法的精确性196

12.4 偏微分方程198

12.4.1 为什么偏微分方程是“方程”198

12.4.2 什么是边界条件198

12.5 偏微分方程的分类199

12.5.1 例1：一阶线性偏微分方程199

12.5.2 例2：二阶线性偏微分方程201

12.6 双变量二阶方程的简单介绍203

12.6.1 圆203

12.6.2 椭圆204

12.6.3 抛物线204

12.6.4 双曲线205

12.7 偏微分方程的类型205

12.8 方差伽马模型定价206

12.9 小结208

12.10 参考阅读208

12.11 习题209

第13章 偏微分方程与偏积分-微分方程——一个应用210

13.1 引言210

13.2 Black-Scholes偏微分方程210

13.3 局部波动率模型212

13.4 偏微分-积分方程213

13.5 资产定价中的偏微分方程／偏积分-微分方程215

13.6 奇异期权216

13.6.1 回望期权216

13.6.2 梯式期权216

13.6.3 触发式或敲入期权216

13.6.4 敲出期权217

13.6.5 其他奇异期权217

13.6.6 奇异期权的偏微分方程217

13.7 实际中求解偏微分方程／偏积分-微分方程218

13.7.1 封闭形式的解218

13.7.2 数值解219

13.7.3 边界条件221

13.7.4 偏积分-微分方程数值解的技巧222

13.8 小结223

13.9 参考阅读223

13.10 习题224

第14章 衍生品定价：等价鞅测度225

14.1 概率变换225

14.2 改变均值227

14.2.1 方法1：对变量本身进行变换227

14.2.2 方法2：对概率进行运算230

14.3 Girsanov定理231

14.3.1 正态分布的随机变量232

14.3.2 正态随机向量233

14.3.3 Radon-Nikodym导数235

14.3.4 等价测度236

14.4 Girsanov定理的内容236

14.5 关于Girsanov定理的讨论238

14.6 选择哪种概率240

14.7 如何得到等价概率242

14.8 小结245

14.9 参考阅读246

14.10 习题246

第15章 等价鞅测度248

15.1 引言248

15.2 鞅测度248

15.2.1 矩母函数248

15.2.2 几何布朗运动的条件期望250

15.3 将资产价格转化为鞅251

15.3.1 确定测度Q251

15.3.2 隐含SDE253

15.4 应用：Black-Scholes公式254

15.5 鞅方法与PDE方法的比较257

15.5.1 两种方法的等价性258

15.5.2 推导的关键步骤261

15.5.3 伊藤公式的积分形式262

15.6 小结262

15.7 参考阅读263

15.8 习题263

第16章 利率敏感型证券的新结论和工具265

16.1 引言265

16.2 概要266

16.3 利率衍生品267

16.4 难点269

16.4.1 漂移项调整269

16.4.2 期限结构270

16.5 小结270

16.6 参考阅读271

16.7 习题271

第17章 新环境下的套利定理272

17.1 引言272

17.2 新金融工具的模型273

17.2.1 新环境274

17.2.2 标准化278

17.2.3 一些不良性质280

17.2.4 新的标准化方法282

17.3 其他等价鞅测度285

17.3.1 股份测度285

17.3.2 即期测度和市场模型286

17.3.3 一些含义290

17.4 小结293

17.5 参考阅读294

17.6 习题294

第18章 期限结构建模及相关概念297

18.1 引言297

18.2 主要概念298

18.2.1 3条曲线298

18.2.2 收益率曲线的运动300

18.3 债券定价公式301

18.3.1 常数即期利率301

18.3.2 随机即期利率302

18.3.3 连续时间303

18.3.4 收益率与即期利率303

18.4 远期利率与债券价格304

18.4.1 离散时间304

18.4.2 连续时间305

18.5 小结306

18.6 参考阅读307

18.7 习题307

第19章 固定收益产品的经典定价法和HJM定价法309

19.1 引言309

19.2 经典方法309

19.2.1 例1310

19.2.2 例2310

19.2.3 一般情形311

19.2.4 即期利率模型的使用313

19.2.5 与Black-Scholes环境的比较314

19.3 期限结构的HJM方法315

19.3.1 选择哪种远期利率316

19.3.2 HJM方法中的无套利动态变化316

19.3.3 解释318

19.3.4 HJM方法中的rt319

19.3.5 HJM方法的其他优点321

19.3.6 市场实践321

19.4 如何使rt与初始期限结构相适应321

19.4.1 蒙特卡洛方法322

19.4.2 树形模型322

19.4.3 封闭形式的解323

19.5 小结323

19.6 参考阅读323

19.7 习题323

第20章 利率衍生品的经典PDE分析326

20.1 引言326

20.2 基本框架327

20.3 利率风险的市场价格328

20.4 PDE的推导330

20.5 PDE的封闭形式解332

20.5.1 情形1：rt确定332

20.5.2 情形2：rt为均值回归过程333

20.5.3 情形3：更复杂的形式335

20.6 小结335

20.7 参考阅读336

20.8 习题336

第21章 条件期望与PDE的联系338

21.1 引言338

21.2 从条件期望到PDE339

21.2.1 例1：常数贴现因子339

21.2.2 例2：债券定价341

21.2.3 例3：一般情况343

21.2.4 一些说明343

21.2.5 哪一种漂移率344

21.2.6 另一个债券价格公式345

21.2.7 用哪一个公式346

21.3 从PDE到条件期望346

21.4 生成元、Feynman-Kac公式和其他工具348

21.4.1 伊藤扩散过程348

21.4.2 马尔可夫性质349

21.4.3 伊藤扩散过程的生成元349

21.4.4 A的表示方法349

21.4.5 Kolmogorov向后方程350

21.5 Feynman-Kac公式352

21.6 小结352

21.7 参考阅读352

21.8 习题352

第22章 用傅里叶变换进行衍生品定价354

22.1 用傅里叶变换进行衍生品定价359

22.1.1 用傅里叶变换对看涨期权定价359

22.1.2 计算定价积分362

22.1.3 快速傅里叶变换的使用364

22.2 观察与发现364

22.3 小结365

22.4 习题365

第23章 信用溢价和信用衍生品367

23.1 标准合约367

23.1.1 信用违约互换367

23.1.2 担保债务凭证371

23.2 信用违约互换的定价372

23.2.1 一般设定373

23.2.2 简化法——风险率法378

23.3 多家公司信用产品的定价381

23.3.1 违约相关性建模382

23.3.2 相关性产品的估值387

23.4 期权市场中的信用溢价388

23.4.1 修正的Merton违约模型388

23.4.2 股权依赖风险（EDH）率方法389

23.4.3 Longstaff-Schwartz模型391

23.4.4 期权价格隐含的信用溢价——一个简单模型392

23.4.5 小结393

23.5 习题393

第24章 停时与美式证券395

24.1 引言395

24.2 为什么研究停时396

24.3 停时397

24.4 停时的作用397

24.5 简化的设定398

24.6 一个简单的例子402

24.7 停时和鞅405

24.7.1 鞅405

24.7.2 Dynkin公式405

24.8 小结406

24.9 参考阅读406

24.10 习题406

第25章 调整及估值技巧综述408

25.1 校准公式408

25.2 基础模型409

25.2.1 几何布朗运动——Black-Scholes模型409

25.2.2 局部波动率模型412

25.2.3 欧式期权的向前偏微分方程413

25.2.4 方差伽马模型417

25.3 滤波与估测概括420

25.3.1 Kalman滤波424

25.3.2 最优Kalman增益、含义及后验协方差矩阵426

25.4 习题427

参考文献429

索引430