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第1章 误差分析与数值计算1

1.1 引言1

1.1.1 误差的来源1

1.1.2 误差理论在数值计算中的作用2

1.2 绝对误差与相对误差、有效数字5

1.2.1 绝对误差与相对误差5

1.2.2 有效数字6

1.3 近似数的简单算术运算7

1.3.1 近似数的加法7

1.3.2 近似数的乘法8

1.3.3 近似数的除法8

1.3.4 近似数的幂和根9

1.3.5 近似数的对数9

1.3.6 近似数的减法9

1.4 数值计算中误差分析的若干原则10

习题111

第2章 非线性方程（组）的近似解法12

2.1 引言12

2.2 根的隔离12

2.2.1 根的隔离12

2.2.2 代数方程实根的上下界13

2.2.3 代数方程实根的个数15

2.3 对分法17

2.4 迭代法18

2.4.1 迭代法18

2.4.2 收敛定理19

2.4.3 迭代法收敛速度22

2.4.4 加速收敛技术23

2.5 牛顿迭代法25

2.5.1 牛顿迭代公式25

2.5.2 牛顿迭代法的收敛性26

2.5.3 牛顿法中初始值的选取27

2.6 弦截法28

2.7 用牛顿法解方程组30

习题232

第3章 线性方程组的解法34

3.1 引言34

3.2 高斯消去法35

3.2.1 顺序高斯消去法35

3.2.2 主元消去法38

3.3 矩阵的LU分解42

3.3.1 矩阵的LU分解42

3.3.2 矩阵A的LU分解求法45

3.4 对称矩阵的LDLT分解47

3.4.1 对称矩阵的矩阵分解形式47

3.4.2 对称矩阵LDLT分解的计算公式48

3.4.3 对称带形矩阵LDLT分解的带宽性质51

3.4.4 解对称正定线性方程组的矩阵分解法52

3.5 线性方程组解的可靠性54

3.5.1 误差向量和向量范数54

3.5.2 残向量57

3.5.3 误差的代数表征58

3.5.4 病态线性方程组59

3.5.5 关于病态方程组的求解问题60

3.6 简单迭代法61

3.6.1 迭代法简介61

3.6.2 迭代过程的收敛性62

3.7 雅可比迭代法与高斯—塞得尔迭代法65

3.7.1 雅可比迭代法65

3.7.2 高斯—塞得尔迭代法66

3.7.3 雅可比迭代法和高斯—塞得尔迭代法的收敛性66

3.8 解线性方程组的超松弛法70

习题373

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算76

4.1 引言76

4.2 幂法与反幂法76

4.2.1 幂法76

4.2.2 反幂法79

4.3 雅可比方法82

4.3.1 预备知识82

4.3.2 雅可比方法82

习题488

第5章 插值与拟合90

5.1 引言90

5.2 插值多项式的存在性和唯一性、线性插值与抛物插值90

5.2.1 代数插值问题90

5.2.2 插值多项式的存在性和唯一性91

5.2.3 线性插值与抛物插值92

5.3 拉格朗日插值多项式95

5.3.1 插值基函数95

5.3.2 拉格朗日插值公式96

5.3.3 插值余项与误差估计96

5.4 均差插值公式100

5.4.1 均差的定义、均差表及性质100

5.4.2 均差插值公式102

5.5 差分、等距节点插值多项式106

5.5.1 差分的定义、性质及差分表106

5.5.2 等距节点插值公式108

5.6 埃尔米特插值110

5.6.1 构造基函数的方法110

5.6.2 构造均差表的方法113

5.7 分段低次插值114

5.7.1 龙格现象114

5.7.2 分段线性插值115

5.7.3 分段三次埃尔米特插值116

5.8 三次样条函数118

5.8.1 三次样条函数的定义118

5.8.2 用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数119

5.8.3 用节点处的一阶导数表示的三次样条插值函数122

5.8.4 三次样条插值函数的误差估计124

5.8.5 追赶法125

5.9 曲线拟合的最小二乘法126

5.9.1 问题的提出126

5.9.2 最小二乘法表述126

5.9.3 最小平方逼近多项式的存在唯一性127

5.9.4 观察数据的修匀131

习题5132

第6章 数值积分和数值微分134

6.1 引言134

6.2 牛顿—柯特斯型数值积分公式136

6.2.1 牛顿—柯特斯求积公式的导出136

6.2.2 插值型求积公式的代数精度139

6.2.3 梯形公式和辛普生公式的余项139

6.3 复合求积公式142

6.3.1 牛顿—柯特斯公式的收敛性和数值稳定性142

6.3.2 复合梯形公式与复合辛普生公式143

6.3.3 步长的自动选择146

6.4 龙贝格求积公式147

6.4.1 复合梯形公式的递推公式147

6.4.2 龙贝格求积算法149

6.4.3 计算步骤及数值例子150

6.5 高斯求积公式152

6.5.1 高斯积分问题的提出152

6.5.2 高斯求积公式153

6.5.3 勒让德多项式的性质154

6.5.4 高斯—勒让德求积公式155

6.5.5 高斯—勒让德求积公式的余项160

6.6 二重积分的数值积分法161

6.6.1 矩形域上的二重积分162

6.6.2 一般区域上的二重积分164

6.7 数值微分164

6.7.1 均差公式165

6.7.2 插值型求导公式166

6.7.3 三次样条求导168

习题6169

第7章 常微分方程的数值解法171

7.1 引言171

7.2 欧拉折线法与改进的欧拉法171

7.2.1 欧拉（Euler）折线法171

7.2.2 初值问题的等价问题与改进的欧拉法173

7.2.3 公式的截断误差175

7.2.4 预报—校正公式176

7.3 龙格—库塔方法177

7.3.1 泰勒级数法177

7.3.2 龙格—库塔方法的基本思想178

7.3.3 龙格—库塔公式的推导179

7.3.4 步长的自动选择185

7.4 线性多步法186

7.4.1 线性多步方法186

7.4.2 阿达姆斯外推法186

7.4.3 阿达姆斯内插法188

7.4.4 隐格式迭代、预报—校正公式190

7.4.5 阿达姆斯预报—校正法的改进192

7.4.6 利用泰勒展开方法构造线性多步公式193

7.5 算法的稳定性与收敛性196

7.5.1 稳定性196

7.5.2 收敛性198

7.6 微分方程组和高阶微分方程的解法200

7.6.1 一阶方程组200

7.6.2 高阶微分方程的初值问题202

习题7205

第8章 偏微分方程数值解法207

8.1 引言207

8.2 常微分方程边值问题的差分方法207

8.2.1 差分方程的建立207

8.2.2 差分方程解的存在唯一性、对边值问题解的收敛性、误差估计208

8.2.3 差分方程组的解法211

8.2.4 关于一般二阶常微分方程第3边值问题212

8.3 化二阶椭圆型方程边值问题为差分方程213

8.3.1 微分方程的差分逼近214

8.3.2 边值条件的近似处理216

8.4 椭圆差分方程组的迭代解法220

8.4.1 差分方程的迭代解法220

8.4.2 迭代法的收敛性222

8.5 抛物型方程的显式差分格式及其收敛性224

8.5.1 显式差分格式的建立224

8.5.2 差分格式Ⅰ的收敛性225

8.6 抛物型方程显式差分格式的稳定性227

8.6.1 差分格式的稳定性问题227

8.6.2 ε-图方法229

8.6.3 稳定性的定义及显式差分格式的稳定性231

8.7 抛物型方程的隐式差分格式231

8.7.1 简单隐式格式231

8.7.2 六点差分格式232

8.8 双曲型方程的差分解法234

8.8.1 微分方程的差分逼近234

8.8.2 初始条件和边值条件的差分近似234

8.8.3 差分解的收敛性和差分格式的稳定性235

习题8236

习题答案238