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第1章 复数1

1.1 基本知识1

1.1.1 复数的表示和运算法则1

1.1.2 开集、闭集和紧集1

1.1.3 平面集合的复数描述2

1.1.4 平面上的连续曲线2

1.1.5 区域3

1.1.6 Wada Lake：平面上的怪异集合3

1.2 辐角函数3

1.2.1 辐角函数的多值性3

1.2.2 辐角函数的定义：函数Argzo.γ4

1.3 辐角函数的单值区域6

1.3.1 充分接近的曲线7

1.3.2 曲线的同伦9

1.3.3 Riemann的想法12

1.4 无穷远点与Riemann球面12

1.4.1 Riemann球面12

1.4.2 无穷远点的邻域和C上的开集13

习题14

第2章 复变函数16

2.1 复平面与增广复平面上的连续函数16

2.1.1 基本定义16

2.1.2 复线性函数f（z）＝αz16

2.2 复变函数的导数18

2.2.1 复变函数导数的定义18

2.2.2 Cauchy-Riemann方程18

2.2.3 导数的几何意义20

2.3 解析性质21

2.3.1 曲线的切线21

2.3.2 局部复线性化22

2.3.3 保形性蕴涵解析性23

2.4 几类特殊的解析函数24

2.4.1 多项式函数和有理函数25

2.4.2 指数函数26

2.4.3 对数函数28

2.4.4 幂函数28

2.5 复合函数的支点以及单值解析分支30

2.5.1 支点30

2.5.2 导数等于031

习题32

第3章 复函数的积分35

3.1 复函数的积分的定义35

3.1.1 复变量实值函数的积分35

3.1.2 复函数的曲线积分35

3.1.3 复曲线积分和实积分的联系36

3.1.4 两个定义的比较38

3.1.5 分段光滑曲线39

3.1.6 一个常用的观察40

3.2 矩形区域上的Cauchy定理41

3.2.1 一个不等式41

3.2.2 解析函数在一点附近的复积分42

3.2.3 矩形区域上的Cauchy定理43

3.3 原函数44

3.3.1 定义和基本性质44

3.3.2 凸区域上的解析函数46

3.4 单连通区域上的Cauchy定理48

3.4.1 定理的证明48

3.4.2 一般区域上的Cauchy积分定理49

3.5 同调形式的Cauchy定理50

3.5.1 简单闭曲线上的Cauchy积分公式50

3.5.2 一般形式的Cauchy积分定理51

3.6 Cauchy定理的应用54

3.6.1 解析函数的可微性54

3.6.2 Cauchy不等式与Liouville定理55

3.6.3 Morera定理56

3.6.4 内闭一致收敛56

习题57

第4章 级数60

4.1 复数项级数60

4.1.1 基本定义60

4.1.2 复数项级数的收敛判别准则60

4.1.3 绝对收敛与复数项级数的Cauchy乘积60

4.1.4 复函数项级数61

4.1.5 解析函数项级数的极限61

4.2 Taylor展式62

4.2.1 幂级数62

4.2.2 幂级数表示的唯一性62

4.2.3 Taylor展式63

4.2.4 解析函数的唯一性64

4.3 Laurent展式65

4.3.1 ∞处的解析函数65

4.3.2 Riemann球面上只有一点不解析的函数68

4.4 解析函数在孤立奇点附近的行为70

4.4.1 孤立奇点的定义70

4.4.2 可去奇点70

4.4.3 极点71

4.4.4 本性奇点72

4.4.5 ∞作为孤立奇点72

4.5 复积分理论的应用74

4.5.1 fp和Lnf的单值解析分支74

4.5.2 具有有限多个奇点的解析函数的积分75

4.5.3 极点附近的留数计算76

4.6 利用留数计算定积分78

4.6.1 三角函数的积分78

4.6.2 有理函数的实积分79

4.6.3 形若Ⅰ＝？f（x）eixdx的积分81

4.6.4 积分区间内有实可去奇点的积分计算83

4.7 亚纯函数的零点和极点个数84

4.7.1 Lnf沿闭曲线的变化84

4.7.2 分析解释85

4.7.3 几何解释87

4.7.4 Rouché定理88

习题89

第5章 解析映射92

5.1 单叶解析函数92

5.1.1 解析函数的一个局部性质92

5.1.2 单叶解析函数93

5.1.3 开映射定理和极大模原理93

5.1.4 单叶解析函数的逆函数94

5.2 分式线性变换与C＊上的解析自同构95

5.2.1 分式线性变换对应的矩阵·特殊线性群SL（2,C）95

5.2.2 分式线形变换的定义域和值域96

5.2.3 分式线性变换的保圆性96

5.2.4 交比98

5.2.5 分式线性变换τ：H→D99

5.3 Schwarz引理100

5.3.1 Schwarz引理100

5.3.2 开圆盘的解析自同构群Aut（D）100

5.3.3 复平面C的解析自同构群102

5.3.4 增广复平面C＊的解析自同构群102

5.4 Montel定理103

5.4.1 基本定义103

5.4.2 Montel定理的证明103

5.5 Riemann保形映照原理的证明105

5.5.1 定理的内容及唯一性的证明105

5.5.2 存在性的证明106

习题110

第6章 调和函数112

6.1 调和函数112

6.1.1 调和函数的定义及基本性质112

6.1.2 调和共轭函数112

6.1.3 均值公式113

6.1.4 Possion积分公式114

6.2 Dirichlet问题的解117

6.2.1 Harnack定理117

6.2.2 次调和函数118

6.2.3 Dirichlet问题的解119

6.2.4 定义集合类B（f）120

6.2.5 解存在的条件121

6.2.6 Barrier的存在性123

习题124

第7章 解析开拓126

7.1 Schwarz反射定理126

7.1.1 对称区域126

7.1.2 H的解析自同构群129

7.1.3 一般形式的Schwarz对称原理129

习题130

第8章 无穷乘积131

8.1 级数展开131

8.1.1 部分积序列131

8.1.2 无穷乘积与级数的关系133

8.1.3 无穷乘积的绝对收敛134

8.2 整函数的无穷乘积展开134

8.2.1 整函数的零点个数134

习题136

第9章 保形映照在边界点的行为138

9.0.1 简单边界点138

9.0.2 径向极限139

9.0.3 保形映照在边界的连续延拓140

习题142

附录A Cauchy核与Poisson核143

A.1 Poisson积分的一些性质143

A.1.1 进一步考察Poisson核143

A.1.2 由Poisson积分定义的函数144

A.2 Cauchy积分和Poisson积分的关系145

A.2.1 Cauchy核和Poisson核的比较145

参考文献148

索引149