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第一篇 微积分3

第一章 函数 极限 连续3

考点与要求3

1函数3

内容精讲3

一、函数的概念及表示方法3

二、函数的性态3

三、几个与函数相关的概念4

四、重要公式与结论5

例题分析6

一、求函数的定义域及表达式6

二、函数的特性8

2极限10

内容精讲10

一、极限的定义10

二、数列极限的基本性质11

三、函数极限的基本性质11

四、无穷小量与无穷大量11

五、极限的四则运算法则12

六、两个重要极限13

七、极限存在的两个准则13

八、洛必达（LHospital）法则13

九、重要公式与结论14

例题分析15

一、极限的概念与性质15

二、求函数的极限16

三、求数列的极限23

四、求含参变量的极限24

五、无穷小量阶的比较25

六、函数极限的反问题26

3函数的连续与间断28

内容精讲28

一、连续的定义28

二、函数的间断点及其分类28

三、连续函数性质28

四、重要定理与结论29

例题分析29

一、函数的连续性及间断点的分类29

二、连续函数性质的应用31

第二章 一元函数微分学32

考点与要求32

1导数与微分32

内容精讲32

一、导数的概念32

二、导数的计算33

三、微分35

四、重要公式与结论35

例题分析36

一、有关导数的定义及性质36

二、含有绝对值函数的导数40

三、导数的几何意义40

四、变限积分的导数42

五、利用导数公式及法则求导43

六、可导条件下求待定的参数45

七、求函数的高阶导数46

2导数的应用47

内容精讲47

一、函数的单调性与极值47

二、曲线的凹凸性与拐点48

三、曲线的渐近线48

四、函数图形的描绘49

五、重要公式与结论49

例题分析49

一、求函数的单调区间与极值49

二、判断曲线的凹凸性与拐点51

三、求曲线的渐近线52

四、导数的经济应用54

3中值定理及不等式的证明55

内容精讲55

一、微分中值定理55

二、补充公式与结论57

三、与本章例题有关的其它内容57

例题分析57

一、证明存在ξ使f（ξ）=057

二、讨论方程根的个数及范围58

三、证明存在ξ，使f（n）（ξ）=0（n=1，2，…）60

四、证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ））=061

五、含有f″（ξ）（或更高阶导数）的介值问题63

六、双介值问题F（ξ，η，…）=064

七、不等式的证明65

第三章 一元函数积分学71

考点与要求71

1不定积分71

内容精讲71

一、不定积分的概念与性质71

二、基本积分公式72

三、三个积分方法72

四、重要公式与结论73

例题分析75

一、不定积分的概念和性质75

二、不定积分的计算76

2定积分85

内容精讲85

一、定积分的概念与性质85

二、定积分的几个定理86

三、定积分的计算方法87

四、重要公式与结论87

例题分析88

一、定积分的概念及性质88

二、定积分的计算91

三、有关变限积分的问题96

四、定积分的证明题97

3反常积分99

内容精讲99

一、无穷区间的反常积分99

二、无界函数的反常积分100

三、几个重要的反常积分101

例题分析101

4定积分的应用104

内容精讲104

一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法）104

二、定积分的几何应用104

三、定积分的经济应用105

例题分析105

一、定积分的几何应用105

二、定积分的经济应用107

第四章 多元函数微积分学108

考点与要求108

1多元函数微分学108

内容精讲108

一、多元函数的极限与连续108

二、偏导数与全微分109

三、复合函数求导法则110

四、隐函数的求导公式111

五、多元函数的极值111

六、重要公式与结论112

例题分析113

一、二元函数的极限与连续113

二、偏导数与全微分的概念114

三、求复合函数的偏导数与全微分117

四、求隐函数的偏导数与全微分122

五、变量代换下表达式的变形125

六、多元函数微分学的反问题127

七、多元函数的极值与最值128

2二重积分135

内容精讲135

一、二重积分的概念与性质135

二、二重积分的计算136

三、重要公式与结论136

例题分析137

一、二重积分的概念及性质137

二、二重积分的基本计算138

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分141

四、分块函数的二重积分144

五、交换积分次序及坐标系145

六、反常二重积分的计算148

七、与二重积分相关的证明149

第五章 无穷级数150

考点与要求150

1常数项级数150

内容精讲150

一、基本概念和基本性质150

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法151

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法151

四、重要公式与结论152

例题分析153

一、正项级数敛散性的判定153

二、交错级数的敛散性的判定156

三、任意项级数敛散性的判定158

四、数项级数敛散性的证明161

五、利用收敛级数求极限163

2幂级数164

内容精讲164

例题分析166

一、求幂级数的收敛半径及收敛域166

二、求幂级数的和函数169

三、求数项级数的和172

四、函数展开为幂级数174

五、经济中的应用175

第六章 常微分方程与差分方程177

考点与要求177

1常微分方程177

内容精讲177

一、几个基本概念177

二、常见的一阶微分方程及其解法178

三、二阶线性微分方程178

例题分析180

一、一阶微分方程的求解180

二、二阶线性微分方程183

三、可化为微分方程求解的问题186

四、微分方程的应用189

2差分方程191

内容精讲191

一、差分的概念191

二、一阶常系数线性差分方程191

例题分析191

第二篇 线性代数195

第一章 行列式195

考点与要求195

内容精讲195

例题分析198

一、数字型行列式的计算198

二、抽象型行列式的计算205

三、行列式|A|是否为零的判定207

四、关于代数余子式求和208

第二章 矩阵210

考点与要求210

内容精讲210

1矩阵的概念及运算210

一、矩阵的概念210

二、矩阵的运算211

三、矩阵的运算规则211

四、特殊矩阵212

2可逆矩阵213

一、可逆矩阵的概念213

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件213

三、逆矩阵的运算性质213

四、求逆矩阵的方法213

3初等变换、初等矩阵214

一、定义214

二、初等矩阵与初等变换的性质214

4矩阵的秩215

一、矩阵秩的概念215

二、矩阵秩的公式215

5分块矩阵215

一、分块矩阵的概念215

二、分块矩阵的运算216

例题分析217

一、矩阵的概念及运算217

二、特殊方阵的幂220

三、伴随矩阵的相关问题223

四、可逆矩阵的相关问题225

五、初等变换、初等矩阵228

六、矩阵秩的计算230

第三章 向量234

考点与要求234

内容精讲234

1 n维向量的概念与运算234

2线性表出、线性相关234

一、线性表出的概念235

二、线性相关、线性无关的概念235

三、线性表出、线性相关的重要定理235

3极大线性无关组、秩236

一、极大线性无关组、向量组秩的概念236

二、有关秩的定理236

4 Schmidt正交化、正交矩阵236

一、Schmidt正交化（正交规范化方法）236

二、正交矩阵237

例题分析237

一、线性相关的判别237

二、向量的线性表示238

三、线性相关与线性无关的证明240

四、秩与极大线性无关组243

五、正交化、正交矩阵245

第四章 线性方程组247

考点与要求247

内容精讲247

1克拉默法则247

2齐次线性方程组248

3非齐次线性方程组249

例题分析251

一、线性方程组的基本概念题251

二、线性方程组的求解254

三、基础解系260

四、Ax=0的系数矩阵的行向量和解向量的关系，由Ax=0的基础解系反求A261

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系263

六、两个方程组的公共解265

七、同解方程组266

八、线性方程组的有关杂题268

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵271

考点与要求271

内容精讲271

1特征值、特征向量271

一、定义271

二、特征值的性质271

三、求特征值、特征向量的方法271

2相似矩阵、矩阵的相似对角化272

一、定义272

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件272

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件273

3实对称矩阵的相似对角化273

一、定义273

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化273

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤273

例题分析274

一、特征值，特征向量的求法274

二、两个矩阵有相同的特征值的证明278

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法279

四、矩阵是否相似于对角阵280

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数283

六、由特征值、特征向量反求A283

七、矩阵相似及相似标准形284

八、相似对角阵的应用289

第六章 二次型294

考点与要求294

内容精讲294

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵294

一、二次型概念294

二、二次型的矩阵表示294

2化二次型为标准形、规范形 合同二次型295

一、定义295

3正定二次型、正定矩阵297

一、定义297

例题分析297

一、二次型的矩阵表示297

二、化二次型为标准形、规范形298

三、合同矩阵、合同二次型304

四、正定性的判别307

五、正定二次型的证明311

六、综合杂题313

第三篇 概率论与数理统计319

第一章 随机事件与概率319

考点与要求319

1事件、样本空间、事件间的关系与运算319

内容精讲319

例题分析321

2概率、条件概率、独立性和五大公式323

内容精讲323

例题分析324

3古典概型与伯努利概型329

内容精讲329

例题分析330

第二章 随机变量及其概率分布333

考点与要求333

1随机变量及其分布函数333

内容精讲333

例题分析334

2离散型随机变量和连续型随机变量335

内容精讲335

例题分析336

3常用分布337

内容精讲337

例题分析340

4随机变量函数的分布343

内容精讲343

例题分析344

第三章 多维随机变量及其分布346

考点与要求346

1二维随机变量及其分布346

内容精讲346

例题分析348

2随机变量的独立性353

内容精讲353

例题分析354

3二维均匀分布和二维正态分布362

内容精讲362

例题分析363

4两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布365

内容精讲365

例题分析366

第四章 随机变量的数字特征373

考点与要求373

1随机变量的数学期望和方差373

内容精讲373

例题分析375

2矩、协方差和相关系数382

内容精讲382

例题分析383

3切比雪夫不等式391

内容精讲391

例题分析391

第五章 大数定律和中心极限定理393

考点与要求393

内容精讲393

例题分析394

第六章 数理统计的基本概念396

考点与要求396

1总体、样本、统计量和样本数字特征396

内容精讲396

例题分析397

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布399

内容精讲399

例题分析401

第七章 参数估计406

考点与要求406

1点估计406

内容精讲406

例题分析406

2估计量求法411

内容精讲411

例题分析412