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第1章 一维问题有限元法1

1.1 采用线性单元的稳定扩散问题有限元法计算1

1.1.1 线性单元插值2

1.1.2 单元划分3

1.1.3 Galerkin原理5

1.1.4 线性代数方程组的表达形式8

1.1.5 Dirichlet边界处的热通量11

1.1.6 用Diracδ函数表示的Galerkin有限元方程12

1.1.7 Galerkin积分原理与有限差分法的关系14

1.2 有限元装配15

1.2.1 集成线性方程组18

1.2.2 针对三对角系数矩阵的线性方程组的Thomas算法19

1.2.3 有限元法计算21

1.2.4 （Robin或混合）对流边界条件24

1.3 变分原理与加权余量法25

1.3.1 齐次Dirichlet边界条件25

1.3.2 非齐次Dirichlet边界条件28

1.3.3 Dirichlet/Neumann边界条件29

1.3.4 Neumann/Dirichlet边界条件31

1.4 Helmholtz方程32

1.5 应用二阶单元分析稳态扩散问题36

1.5.1 单元结点和整体结点37

1.5.2 Galerkin有限元法方程38

1.5.3 计算五对角系数矩阵的Thomas算法41

1.5.4 单元矩阵44

1.5.5 有限元法程序45

1.5.6 结点凝聚48

1.5.7 任意位置的内部结点53

1.6 使用二阶模态展开的稳态扩散问题58

第2章 一维问题有限元法的进一步应用64

2.1 非稳态扩散64

2.1.1 Galerkin原理64

2.1.2 ODEs的积分66

2.1.3 向前Euler差分法66

2.1.4 数值稳定性67

2.1.5 有限元程序71

2.1.6 Crank-Nicolson积分法74

2.2 对流77

2.2.1 线性单元78

2.2.2 由于空间离散化导致的数值弥散80

2.2.3 二阶单元82

2.2.4 ODEs积分82

2.2.5 非线性对流问题83

2.3 对流-扩散84

2.3.1 稳态线性对流-扩散84

2.3.2 非线性对流-扩散88

2.4 梁的弯曲89

2.4.1 Euler-Bernoulli梁89

2.5 梁弯曲问题有限元法92

2.5.1 Hermite单元93

2.5.2 Galerkin原理95

2.5.3 单元刚度和质量矩阵97

2.5.4 采用一个单元进行有限元法计算的悬臂梁99

2.5.5 结点荷载作用下的悬臂梁100

2.6 梁的屈曲103

2.6.1 端部受压104

2.6.2 承受端部压力时梁的屈曲106

2.6.3 短粗柱的屈曲107

第3章 一维问题中的高阶有限元与谱元法113

3.1 单元结点集114

3.1.1 Lagrange插值114

3.1.2 均布结点115

3.1.3 单元矩阵116

3.1.4 C0连续性和共享单元结点116

3.2 单元结点集变换117

3.2.1 二阶展开式118

3.2.2 逆变换119

3.2.3 单元矩阵之间关系120

3.2.4 结点集对于有限元解的作用120

3.3 谱插值121

3.3.1 Lobatto结点集121

3.3.2 离散化程序126

3.3.3 Legendre多项式128

3.3.4 第二类Chebyshev结点集130

3.4 Lobatto插值及单元矩阵130

3.4.1 Lobatto质量矩阵131

3.4.2 Lobatto插值函数积分132

3.4.3 Lobatto质量矩阵计算133

3.4.4 Lobatto扩散矩阵计算138

3.5 稳态扩散问题的谱元法程序143

3.5.1 谱精度146

3.5.2 Helmholtz方程148

3.5.3 结点凝聚149

3.6 模态展开152

3.6.1 结点展开式153

3.6.2 数值实现方法154

3.7 Lobatto模态展开155

3.7.1 单元扩散矩阵156

3.7.2 单元质量矩阵158

3.7.3 模态谱元法161

3.8 任意结点集164

3.9 非稳态扩散169

3.9.1 Crank-Nicolson离散方法170

3.9.2 Euler向前差分法173

第4章 二维问题有限元法175

4.1 二维对流-扩散问题175

4.1.1 边界条件177

4.1.2 Galerkin积分177

4.1.3 区域离散化和插值178

4.1.4 Galerkin有限元方程式179

4.1.5 施加Dirichlet边界条件181

4.1.6 分离结点182

4.1.7 变分形式182

4.2 三结点三角形单元184

4.2.1 单元矩阵187

4.2.2 单元扩散矩阵计算189

4.2.3 单元质量矩阵计算190

4.2.4 证明积分式191

4.2.5 单元对流矩阵计算192

4.3 网格生成194

4.3.1 连续细分194

4.3.2 Delaunay三角剖分198

4.3.3 广义联系矩阵201

4.3.4 单元和结点的编号方式204

4.4 Dirichlet边界条件下的Laplace方程205

4.5 Laplace算子的特征值210

4.6 Dirichlet边界条件下的对流-扩散问题213

4.7 Neumann边界条件下的Helmholtz方程216

4.8 任意边界条件下的Laplace方程220

4.9 面单元224

4.10 双线性四边形单元227

第5章 二维问题中的二阶单元和谱单元230

5.1 六结点三角形单元230

5.1.1 三角形积分域233

5.1.2 等参插值与单元矩阵233

5.1.3 单元矩阵与积分法则237

5.1.4 直边单元241

5.2 网格生成244

5.2.1 圆盘244

5.2.2 正方形247

5.2.3 L-形区域250

5.2.4 具有方孔与圆孔的正方形251

5.2.5 带圆孔的矩形253

5.3 Laplace方程和Poisson方程257

5.3.1 Laplace方程257

5.3.2 Laplace算子的特征值261

5.3.3 Poisson方程261

5.4 Dirichlet边界条件下的对流-扩散问题267

5.5 高阶三角形单元展开式270

5.5.1 结点插值函数的计算273

5.5.2 Lebesgue常数276

5.5.3 结点凝聚276

5.6 Appell多项式基函数276

5.6.1 不完全双正交278

5.6.2 不完全正交性279

5.6.3 广义Appell多项式279

5.7 Proriol多项式基280

5.7.1 正交性281

5.7.2 正交展开282

5.8 高阶结点配置283

5.8.1 基于一维主网格的结点配置283

5.8.2 均匀网格284

5.8.3 三角形单元上的Lobatto网格287

5.8.4 Fekete结点集289

5.8.5 其他形式的结点配置290

5.9 三角形单元内的模态展开291

5.9.1 模态展开的实现方法295

5.9.2 模态展开性质295

5.10 面单元296

5.10 .1 在单元表面上求函数梯度296

5.10 .2 网格生成297

5.11 高阶四边形单元297

5.11 .1 矩形八结点单元298

5.11 .2 十二结点矩形单元300

5.11 .3 通过张量积展开生成的网格结点301

5.11 .4 模态展开303

第6章 有限元法在力学中的应用306

6.1 弹性理论基础306

6.1.1 变形和本构方程307

6.1.2 线弹性体308

6.2 平面应力和平面应变分析310

6.2.1 平面应力分析310

6.2.2 平面应变分析314

6.2.3 有限元描述315

6.3 平面应力问题有限元分析316

6.3.1 边界力引起的变形318

6.3.2 体力作用引起的变形329

6.4 板的弯曲335

6.4.1 平衡方程338

6.4.2 边界条件339

6.4.3 本构方程和控制方程340

6.4.4 圆形板342

6.5 Hermite三角形单元344

6.6 Morley三角形单元352

6.7 相容的三角形单元355

6.7.1 六结点21个自由度的三角形单元355

6.7.2 Hsieh-Clough-Tocher（HCT）单元356

6.8 板弯曲问题的有限元法361

6.8.1 基于双调和方程的有限元描述361

6.8.2 Poisson方程的有限元法描述371

6.9 屈曲与皱曲375

第7章 粘滞流386

7.1 控制方程386

7.2 有限元法388

7.2.1 Galerkin积分388

7.2.2 离散方程390

7.3 Stokes流体390

7.3.1 控制方程390

7.3.2 Galerkin有限元法方程391

7.3.3 三角化394

7.4 矩形腔中的Stokes流395

7.5 Navier-Stokes流体401

7.5.1 稳态402

7.5.2 时程积分403

7.5.3 以压力为基本变量的Poisson方程形式404

第8章 三维空间中的有限元与谱元法406

8.1 三维空间中的对流-扩散问题406

8.1.1 边界条件406

8.1.2 区域离散407

8.1.3 Galerkin变分法407

8.1.4 Galerkin有限元法方程408

8.1.5 单元矩阵409

8.1.6 施加Dirichlet边界条件409

8.2 四面体单元410

8.2.1 参数坐标表示411

8.2.2 四面体域内的体积分412

8.2.3 单元划分为八个四面体413

8.2.4 单元划分为12个四面体415

8.2.5 等参插值416

8.2.6 单元扩散矩阵416

8.2.7 单元质量矩阵424

8.2.8 积分公式（8.2.36 ）的证明426

8.2.9 单元对流矩阵426

8.3 区域离散为4-NQ单元集427

8.3.1 Delaunay单元细分432

8.4 关于4-NQ单元的有限元程序434

8.4.1 Laplace方程434

8.4.2 Laplace算子的特征值437

8.5 四面体上的正交多项式439

8.5.1 Karniadakis和Sherwin多项式441

8.5.2 正交展开442

8.6 高阶单元和四面体谱单元444

8.6.1 均匀结点分布445

8.6.2 任意结点分布447

8.6.3 谱结点分布447

8.6.4 单元结点插值函数的梯度450

8.6.5 数值积分450

8.7 10结点的二阶四面体单元451

8.7.1 结点插值函数452

8.7.2 单元扩散和质量矩阵453

8.7.3 空间离散453

8.7.4 Laplace方程465

8.7.5 Laplace算子的特征值466

8.8 四面体单元上的模态展开473

8.9 六面体单元476

8.9.1 参数化表示477

8.9.2 六面体体积域内的积分478

8.9.3 高阶单元和六面体谱单元478

8.9.4 模态展开479

附录483

A.数学基础483

A.1 指标记法483

A.2 Kronecker符号483

A.3 转换张量483

A.4 二维和三维向量484

A.5 Hamilton算子484

A.6 梯度和散度484

A.7 向量运算公式485

A.8 Gauss散度定理485

A.9 平面坐标系中的Gauss散度公式486

A.10 Stokes公式486

B.正交多项式487

B.1 定义和基本性质487

B.1.1 低阶多项式的正交性488

B.1.2 正交多项式的根489

B.1.3 正交性的离散表示形式489

B.1.4 Gram多项式489

B.1.5 递推关系489

B.1.6 三对角矩阵行列式计算491

B.1.7 Clenshaw算法491

B.1.8 Gram-Schmidt正交化492

B.1.9 正交多项式493

B.1.10 Christoffel-Darboux公式493

B.2 Gauss积分494

B.2.1 积分权重值495

B.2.2 标准Gauss求积公式495

B.3 Lobatto积分496

B.4 Chebyshev积分公式497

B.5 Legendre多项式498

B.6 Lobatto多项式500

B.7 Chebyshev多项式500

B.8 Jacobi多项式502

C.线性方程组求解503

C.1 Gauss消去法504

C.1.1 主元消去法505

C.1.2 具体运算步骤506

C.1.3 对称矩阵507

C.1.4 计算成本507

C.1.5 Gauss消除法的计算机程序507

C.1.6 多个不同右端项511

C.1.7 计算矩阵的逆511

C.1.8 Gauss-Jordan消元法511

C.2 基于矩阵分裂法的迭代法512

C.2.1 Jacobi法512

C.2.2 Gauss-Seidel迭代法513

C.2.3 逐次超松弛（SOR）法513

C.2.4 基于算子和网格的分裂法513

C.3 基于方向搜索的迭代法513

C.3.1 对称正定矩阵514

C.3.2 一般方法520

C.4 有限元方程求解520

D.函数插值520

D.1 插值多项式520

D.1.1 Vandermonde矩阵521

D.1.2 广义Vandermonde矩阵522

D.1.3 Newton插值523

D.2 Lagrange插值523

D.2.1 Cauchy关系式524

D.2.2 利用生成多项式表示Lagrange多项式524

D.2.3 一阶导数和结点微分矩阵525

D.2.4 Vandermonde矩阵表示法527

D.2.5 与多项式根相关的Lagrange多项式529

D.2.6 采用Hermite插值的Lagrange多项式530

D.3 多项式插值的误差531

D.3.1 收敛性和Lebesgue常数532

D.4 Chebyshev插值534

D.5 Lobatto插值535

D.6 二维或更高维插值538

E.生成单元网格539

F.术语表540

G.MATLAB基础541

G.1 MAT LAB编程542

G.1.1 语法和句法542

G.1.2 精度543

G.1.3 MATLAB命令544

G.1.4 简单例子545

G.2 MATLAB函数547

G.3 数值方法550

G.4 MATLAB绘图550

参考文献556