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第一部分 一元函数微分学1

一、概念、原理的理解、表述和背景3

1．弧度制的起源和弧度的优点3

2．奇异的数e——它的来源及其为无理数的证明4

3．ε-N方法的思维方式和美学意境8

4．复合函数概念的简易表述12

5．关于导数和微分的一些历史注记13

6．用单位解释导数的意义15

7．关于导数记号？与f'（x）的说明16

8．反三角函数导数公式的另一推导方式17

9．导数运算的除法法则的另一证明方法17

10．关于复合函数微分法的另一证明方法18

11．参数式函数二阶导数的一种简易求法19

12．大师也会犯初级错误：函数乘积的导数公式20

13．“两个错误之和等于正确”：关于幂指函数求导的趣事21

14．导数的新应用：利用导数知识调控计算机所作的函数图形21

15．泰勒公式余项绝对值上界的另一证明方法23

16．关于不定式极限的一个注记24

17．注重直觉思维能力的培养25

18．17世纪微积分面临的巨大危机28

二、例题、习题精选及题解31

第二部分 一元函数积分学87

一 概念、原理的理解、表述和背景89

1．不定积分和定积分的历史纠结89

2．定积分概念的简化：两个任意还是一个任意？90

3．莱布尼茨的积分概念表述91

4．关于定积分记号的历史注记92

5．建立牛顿一莱布尼茨公式的另一途径92

6．微分和积分的互逆关系94

7．极坐标曲线ρ=ρ（？）切线的求法及其在积分定限中的应用95

8．利用积分上限函数定义自然对数函数98

9．双曲函数与三角函数一个类似的性质102

10．奇妙的旋轮线，及其等时性和为最速降线的证明104

二、例题、习题精选及题解110

第三部分 多元函数微积分学171

一、概念、原理的理解、表述和背景173

1．二元函数“一次只改变一个变量的”研究策略173

2．偏导数在实际问题中的解释177

3．二元函数微分概念的另一种表述方式179

4．二元函数微分在误差控制中的应用180

5．等值线图应用面面观182

6．变量的单位和梯度的几何解释194

7．条件极值的图形解法及拉格朗日乘子的意义194

8．拉格朗日乘子法的几何解释及条件极值的对偶原理197

9．条件极值与罚函数199

10．对一个传统的二元函数极值问题的不同解法及思考201

11．曲面面积公式的另一导出方式207

12．格林公式的向量形式208

二、例题、习题精选及题解211

第四部分 级数与微分方程237

一、概念、原理的理解、表述和背景239

1．登山、芝诺悖论与无穷级数239

2．使无穷级数概念的引入更生动深刻些241

3．级数在经济学中的应用举例——单利、复利、年金的计算及应用243

4．欧拉怎样证明？247

5．关于傅里叶级数收敛条件的表述249

二、例题、习题精选及题解253

级数例题和习题精选253

微分方程例题和习题精选278

第五部分 微积分projects精选及参考解答295

1．飞机驾驶员从何处开始降落？297

2．如何修建环形滑车道？299

3．贝齐尔（Bézier）曲线302

4．电影院里座位的选择306

5．血管和管道的最优分叉角度308

6．罐头的经济尺寸问题312

7．如何标出椭圆柱油罐中油量的刻度317

8．种群数量增长的微分方程模型318

9．种群增长的离散模型322

10．两个种群数量相互影响的微分方程组模型326

11．上抛物体究竟是上升快还是下落快？333

12．如何确定产品制造中的学习曲线及产品的重新定价问题336

13．两个强度相等的光源的照度问题340

14．柯布－道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数346

15．水力涡轮发电机的最优化348

16．三个圆柱的交352

17．肿瘤的图形模拟与表面积的计算355

参考文献357