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第6章 向量代数与空间解析几何1

6.1　向量及其线性运算1

6.1.1 空间直角坐标系1

6.1.2 向量及其坐标表示3

6.1.3 向量的方向余弦5

6.1.4 向量的线性运算5

习题6.1（附答案与提示）9

6.2　向量的点积与叉积10

6.2.1　两个向量的点积10

6.2.2　点积的性质11

6.2.3　R3中两个向量的叉积12

6.2.4 向量的混合积15

习题6.2（附答案与提示）16

6.3　直线与平面17

6.3.1　R2中的直线17

6.3.2　R3中的平面18

6.3.3　R3中的直线20

习题6.3（附答案与提示）21

6.4　直线与平面的位置关系23

6.4.1 两直线的夹角23

6.4.2 两平面的夹角24

6.4.3　直线与平面的夹角24

6.4.4　点到平面的距离25

6.4.5 平面束26

习题6.4（附答案与提示）27

6.5 曲面29

6.5.1 曲面及其方程29

6.5.2　柱面30

6.5.3　球面30

6.5.4 椭球面31

6.5.5　旋转曲面31

6.5.6　其他曲面的例子32

习题6.5（附答案与提示）33

6.6 曲线34

6.6.1 平面曲线34

6.6.2　空间曲线35

6.6.3　空间曲线的投影柱面和投影曲线36

习题6.6（附答案与提示）36

总习题（6）（附答案与提示）37

第7章 多元函数微分学41

7.1　n维欧氏空间中某些基本概念41

7.1.1　n维欧氏空间Rn41

7.1.2 邻域43

7.1.3 内点、外点、边界点、聚点43

7.1.4 开集44

7.1.5 闭集44

7.1.6 区域45

习题7.1（附答案与提示）45

7.2　多元函数的基本概念46

7.2.1 二元函数46

7.2.2　等高线和等位面47

7.2.3　极限与连续50

习题7.2（附答案与提示）52

7.3　偏导数与全微分54

7.3.1　偏导数54

7.3.2　全微分56

7.3.3　连续性与可微性，偏导数与可微性58

习题7.3（附答案与提示）61

7.4　复合函数的求导法则64

7.4.1 z=f（x,y），x=g（T），y=h（t）的情形64

7.4.2　z=f（x,y），x=g（u,v），y=h（u,v）的情形65

7.4.3　一阶全微分形式的不变性66

7.4.4　高阶偏导数和高阶全微分67

习题7.4（附答案与提示）70

7.5　方向导数与梯度73

7.5.1 方向导数73

7.5.2 梯度75

习题7.5（附答案与提示）77

7.6　隐函数微分法79

7.6.1 一个方程的情形79

7.6.2　方程组的情形81

7.6.3 隐函数存在定理83

习题7.6（附答案与提示）85

7.7　泰勒多项式86

习题7.7（附答案与提示）88

7.8　向量值函数的导数89

7.8.1 向量值函数的概念89

7.8.2 向量值函数的极限与连续性90

7.8.3 向量值函数的导数91

习题7.8（附答案与提示）94

7.9　偏导数在几何上的应用95

7.9.1 空间曲线的切线与法平面95

7.9.2 曲面的切平面与法线97

习题7.9（附答案与提示）101

7.10　无约束最优化问题103

7.10.1 多元函数的极值概念104

7.10.2　极值的必要条件104

7.10.3　极值的充分条件105

7.10.4　最大（小）值的求法106

习题7.10（附答案与提示）108

7.11　约束最优化问题110

7.11.1　拉格朗日乘数110

7.11.2　拉格朗日乘数法111

习题7.11（附答案与提示）113

7.12　偏导数计算在偏微分方程中的应用114

7.12.1　验证给定函数满足某偏微分方程115

7.12.2　变量代换116

习题7.12（附答案与提示）118

总习题（7）（附答案与提示）118

第8章　重积分124

8.1　二重积分的概念124

8.1.1 曲顶柱体的体积124

8.1.2 平面区域内昆虫群体的总量125

8.1.3　二重积分的定义126

8.1.4　二重积分的性质126

习题8.1（附答案与提示）127

8.2　二重积分的计算128

8.2.1　矩形区域上的二重积分128

8.2.2　一般区域上的二重积分129

8.2.3　利用极坐标计算二重积分133

8.2.4　二重积分的一般换元法136

习题8.2（附答案与提示）137

8.3　广义二重积分140

习题8.3（附答案与提示）142

8.4　三重积分的概念和计算142

8.4.1　三重积分的概念142

8.4.2　利用直角坐标系计算三重积分143

8.4.3　利用柱坐标系计算三重积分146

8.4.4　利用球坐标系计算三重积分148

习题8.4（附答案与提示）150

8.5　重积分的应用152

8.5.1　体积152

8.5.2　物体的质心153

8.5.3　转动惯量154

8.5.4　引力155

习题8.5（附答案与提示）156

总习题（8）（附答案与提示）158

第9章 曲线积分与曲面积分161

9.1　第一类曲线积分161

习题9.1（附答案与提示）164

9.2　第二类曲线积分165

9.2.1 第二类曲线积分的概念和性质165

9.2.2　第二类曲线积分的计算166

9.2.3　第二类曲线积分的几个等价形式167

习题9.2（附答案与提示）171

9.3　第一类曲面积分172

9.3.1　曲面面积172

9.3.2　第一类曲面积分的概念和性质174

9.3.3　第一类曲面积分的计算175

习题9.3（附答案与提示）176

9.4　第二类曲面积分177

9.4.1 第二类曲面积分的概念177

9.4.2　第二类曲面积分的几个等价形式179

9.4.3　第二类曲面积分的计算180

习题9.4（附答案与提示）182

9.5　格林公式及其应用184

9.5.1 平面闭曲线的定向184

9.5.2　格林公式185

9.5.3　格林公式的应用187

习题9.5（附答案与提示）190

9.6　保守场与势函数191

9.6.1　保守场与势函数的概念191

9.6.2　保守场的性质192

9.6.3　保守场的判别法195

9.6.4　全微分方程及势函数的求法196

习题9.6（附答案与提示）199

9.7　散度和高斯公式201

9.7.1 向量场的散度201

9.7.2　散度的计算202

9.7.3　高斯公式203

习题9.7（附答案与提示）206

9.8　旋度与斯托克斯公式207

9.8.1 向量场的旋度207

9.8.2　斯托克斯公式208

9.8.3　旋度的计算210

习题9.8（附答案与提示）212

9.9　梯度算子213

9.9.1　梯度算子的运算规则213

9.9.2　几个基本公式213

9.9.3　例子214

习题9.9（附答案与提示）215

9.10　向量的外积与外微分形式215

9.10.1 向量的外积216

9.10.2　外微分形式及外微分217

9.10.3　场论基本公式的统一形式219

习题9.10（附答案与提示）221

总习题（9）（附答案与提示）221

第10章　无穷级数225

10.1　数项级数的收敛与发散225

10.1.1　基本概念225

10.1.2 收敛级数的基本性质228

习题10.1（附答案与提示）230

10.2　正项级数231

10.2.1 有界性准则231

10.2.2 比较判别法232

10.2.3 比值判别法和根值判别法235

10.2.4　积分判别法238

习题10.2（附答案与提示）239

10.3　任意项级数240

10.3.1 交错级数收敛判别法240

10.3.2　绝对收敛与条件收敛242

10.3.3　绝对收敛级数的性质243

习题10.3（附答案与提示）246

10.4　函数项级数的基本概念247

10.4.1 函数列和函数项级数247

10.4.2 收敛域248

10.4.3　几个基本问题248

10.4.4　一致收敛的概念250

10.4.5 一致收敛级数的性质252

习题10.4（附答案与提示）254

10.5　幂级数及其收敛性255

10.5.1 幂级数的收敛半径与收敛区间255

10.5.2 收敛半径的求法258

10.5.3　幂级数的性质260

习题10.5（附答案与提示）264

10.6　泰勒级数266

10.6.1　基本定理266

10.6.2　几个基本初等函数的泰勒级数268

10.6.3　应用基本展开式的例子271

10.6.4　微分方程的幂级数解法272

习题10.6（附答案与提示）274

10.7　周期函数的傅立叶级数275

10.7.1　基本三角函数系276

10.7.2　傅立叶系数277

10.7.3 收敛定理278

10.7.4　例子278

10.7.5　正弦级数和余弦级数280

习题10.7（附答案与提示）281

10.8　任意区间上的傅立叶级数283

10.8.1 区间［—π，π］上的傅立叶级数283

10.8.2 区间［—l,l］上的傅立叶级数285

习题10.8（附答案与提示）287

10.9　傅立叶级数的复数形式289

习题10.9（附答案与提示）291

总习题（10）（附答案与提示）291

第11章　含参变量的积分296

11.1　含参变量的常义积分296

习题11.1（附答案与提示）299

11.2　广义积分收敛性判别法300

11.2.1 无穷积分收敛性判别法300

11.2.2　无界函数的广义积分收敛性判别法302

习题11.2（附答案与提示）304

11.3　含参变量的广义积分304

11.3.1　一致收敛性305

11.3.2　含参变量广义积分的性质306

习题11.3（附答案与提示）307

总习题（11）（附答案与提示）307

参考文献309