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第一篇 高等数学1

第一章 函数·极限·连续1

1.1 函数1

1.2 极限·连续3

题型一 关于“抓大头”（抓大头的方法由陈文灯先生在《数学复习指南》中提出）5

题型二 关于无穷小5

题型三 关于洛必达法则8

题型四 关于“1∞”型极限11

题型五 关于数列极限13

题型六 关于夹逼定理14

题型七 关于单调有界序列16

题型八 关于用定积分求极限18

题型九 关于左、右极限19

题型十 求极限表达式中的未知参数21

题型十一 利用拉格朗日中值定理或泰勒公式计算极限22

题型十二 关于在x＝x0的连续性及间断点25

题型十三 关于重要定理的证明27

习题一28

第二章 导数与微分32

2.1 导数的定义32

2.2 基本求导公式及求导运算法则38

题型一 分段函数求导39

题型二 复合函数求导41

题型三 隐函数求导及参数方程求导43

题型四 反函数求导45

题型五 对上限变量求导46

2.3 高阶导数47

题型一 使用归纳法求高阶导数48

题型二 间接法49

题型三 利用莱布尼兹公式求高阶导数50

题型四 利用幂级数展开（或泰勒公式）求f（n）（0）51

习题二51

第三章 积分55

3.1 不定积分55

题型一 三角替换66

题型二 指数代换及简单根式的不定积分68

习题三（1）74

3.2 定积分76

习题三（2）96

3.3 广义积分99

习题三（3）103

第四章 中值定理104

4.1 闭区间上连续函数的性质104

4.2 微分中值定理108

题型一 验证中值定理正确性108

题型二 利用罗尔定理证明零点的存在性109

题型三 利用连续性、极值、单调性证明函数存在零点，并确定零点个数112

题型四 证明二个中值ξ、η的等式及恒等式114

4.3 泰勒公式116

题型一 将函数麦克劳林展开或泰勒展开117

题型二 利用泰勒展开证明等式及不等式119

4.4 积分中值定理122

4.5 关于中值位置的讨论124

4.6 本章中重要定理的证明126

习题四128

第五章 一元微积分的应用131

5.1 导数与切线131

5.2 单调性、凹凸性134

5.3 渐近线、极值与最值137

5.4 不等式142

题型一 利用单调性证明不等式142

题型二 用中值定理证明不等式145

题型三 用凹凸性证明不等式146

题型四 用极值最值证明不等式147

题型五 其他不等式148

习题五（1）152

5.5 几何应用155

5.6 定积分的物理应用162

习题五（2）164

第六章 矢量代数及空间解析几何167

6.1 矢量167

6.2 平面与直线171

6.3 曲面与空间曲线176

习题六181

第七章 多元函数微分学183

7.1 函数、极限、连续183

7.2 偏导数与全微分186

题型一 求多元复合函数的偏导数及全微分189

题型二 隐函数求导190

题型三 利用变量替换将方程变形193

题型四 利用偏导数或全微分确定常数或函数195

7.3 极值与最值196

题型一 无条件极值197

题型二 条件极值199

7.4 方向导数与梯度201

7.5 多元函数的几何应用204

题型一 空间曲线的切线与法平面204

题型二 空间曲面的切平面及法线207

7.6 本章中重要定理的证明209

习题七210

第八章 重积分215

8.1 二重积分215

题型一 交换积分次序216

题型二 选择适当坐标系计算二重积分218

题型三 对称性220

题型四 分区域积分224

题型五 其他225

8.2 三重积分227

题型一 选择适当的坐标系227

题型二 对称性231

习题八237

第九章 级数241

9.1 数项级数241

9.2 幂级数251

题型一 收敛半径与收敛区域252

题型二 函数展开成幂级数255

题型三 用逐项求导、逐项求积分方法求幂级数的和函数259

题型四 幂级数与微分方程260

题型五 数项级数求和262

9.3 傅里叶级数265

习题九268

第十章 曲线积分、曲面积分、场论274

10.1 第一类曲线积分274

题型一 计算弧长275

题型二 计算第一类曲线积分276

10.2 第二类曲线积分277

题型一 计算第二类曲线积分278

题型二 曲线积分与路径无关282

10.3 第一类曲面积分287

题型一 求曲面的面积287

题型二 计算第一类曲面积分289

10.4 第二类曲面积分291

题型一 第二类曲面积分的各种计算方法293

题型二 空间第二类曲线积分及斯托克斯定理296

10.5 场论299

习题十300

第十一章 常微分方程303

11.1 常微分方程的基本概念393

11.2 一阶微分方程304

题型一 可分离变量方程304

题型二 一阶齐次方程304

题型三 一阶线性方程306

题型四 伯努利方程310

题型五 将变上限积分方程转化成一阶微分方程311

11.3 可降阶方程313

题型一 y"＝f（x,y'）类型313

题型二 y"＝f（y,y'）类型14

11.4 二阶常系数线性微分方程316

习题十一326

第二篇 线性代数331

第一章 行列式331

题型一 低阶行列式的计算333

题型二 n阶行列式的计算337

题型三 应用行列式与方阵相关性质计算行列式343

题型四 克莱姆法则348

习题一349

第二章 矩阵353

题型一 矩阵的基本运算357

题型二 求方阵的高次幂363

题型三 初等变换与初等矩阵365

题型四 逆矩阵367

题型五 矩阵方程371

习题二374

第三章 向量379

题型一 向量组的线性表示381

题型二 向量组的极大线性无关组，向量组的秩与矩阵的秩388

题型三 线性空间392

习题三396

第四章 线性方程组400

题型一 有关解的性质及结构401

题型二 求解线性方程组403

题型三 求方程组中的参数408

题型四 二个方程组的公共解411

题型五 证明题414

题型六 对于空间解析几何的应用416

习题四417

第五章 相似矩阵与二次型422

题型一 矩阵的特征值与特征向量426

题型二 相似矩阵432

题型三 可相似对角化问题436

题型四 实对称矩阵相似对角化问题439

题型五 相似对角化对于矩阵高次幂的应用442

题型六 二次型化标准型444

题型七 正定二次型与正定矩阵451

习题五454

第三篇 概率论与数理统计460

第一章 随机事件与概率460

题型一 事件的运算与概率的性质463

题型二 古典概型与几何概型的计算464

题型三 条件概率、乘法公式与事件的独立性467

题型四 全概公式与贝叶斯公式472

题型五 n重贝努利试验474

习题一476

第二章 随机变量480

2.1 一维随机变量480

题型一 分布函数、概率密度及离散型随机变量的分布律483

题型二 利用重要分布求概率489

题型三 随机变量函数的分布494

2.2 二维随机变量500

题型一 二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布及独立性504

题型二 二维随机变量函数的分布509

习题二514

第三章 随机变量的数字特征520

题型一 一维随机变量的数字特征522

题型二 二维随机变量函数数学期望与方差530

题型三 协方差、相关系数及独立性533

题型四 应用题537

习题三540

第四章 大数定律及中心极限定理543

题型一 关于切比雪夫不等式544

题型二 关于中心极限定理545

习题四546

第五章 数理统计548

5.1 数理统计基本概念548

5.2 点估计555

题型一 矩估计与最大似然估计555

题型二 估计量的评判标准558

5.3 区间估计562

5.4 假设检验564

习题五569