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目录1

第1章 函数1

1.1 预备知识1

1.1.1 内容提要1

1 区间及其各种表示法1

2 绝对值及其性质1

1.1.2 例题分析2

1 不等式与绝对值不等式之间的互换2

2 解不等式3

1.2 函数概念、定义域、反函数、函数符号6

1.2.1 内容提要6

1 函数定义6

2 定义域6

3 反函数定义6

1.2.2 例题分析7

1 有关函数概念的一些问题7

2 求定义域9

3 函数的符号运算11

4 求反函数15

1.3.1 内容提要18

1 奇、偶函数的定义18

2 周期函数定义18

3 函数增减性定义18

1.3 偶函数、奇函数、周期函数、函数的增减性18

1.3.2 例题分析19

1 判断函数的奇偶性19

2 函数周期性及其求法21

3 判断函数的增减性23

1.4.1 内容提要24

1.4 建立函数关系24

1.4.2 例题分析25

1 由物理知识寻找函数关系25

2 由几何条件寻找函数关系25

3 由其他条件寻找函数关系28

1.5 作函数的图形29

1.5.1 内容提要29

1.5.2 例题分析31

1 图形的叠加31

2 图形的平移32

3 综合法作图33

4 带有绝对值的函数作图法34

5 其他作图法35

1.6 综合题、杂题37

1.7 习题与答案42

1.7.1 习题42

1.7.2 答案46

2 当x→＋∞时，函数f（x）以A为极限的定义50

限的定义50

3 当x→－∞时，函数f（x）以A为极50

2.1.1 内容提要50

1 数列un的极限定义50

2.1 极限概念50

第2章 极限与连续50

4 当x→∞时，函数f（x）以A为极限的定义51

5 当x→x0时，函数f（x）以A为极限的定义51

6 无穷小量的定义51

7 无穷大量的定义51

1 有关极限概念中的一些问题52

2.1.2 例题分析52

8 有界函数与无界函数的定义52

2 用极限定义证明极限54

3 无穷小、无穷大、有界函数及无界函数62

2.2 极限四则运算64

2.2.1 内容提要64

2.2.2 例题分析65

1 有关极限四则运算的讨论65

2 用极限四则运算计算极限67

3 有界函数与无穷小量的乘积定理73

2.3.2 例题分析74

1 两个重要极限及其应注意的问题74

2.3 极限存在准则、两个重要极限74

2.3.1 内容提要74

2 利用极限存在准则求极限79

2.4 无穷小量的比较82

2.4.1 内容提要82

2.4.2 例题分析83

1 利用等价无穷小代换求极限83

2 加减运算中用各自的等价无穷小代换求极限的条件85

3 无穷小量阶的判定88

2.5 连续函数92

2.5.1 内容提要92

1 函数的连续定义92

2 间断点的定义92

3 连续函数的性质92

4 最大值和最小值定理93

5 介值定理93

2.5.2 例题分析93

1 连续函数概念中的一些问题93

2 函数关系已显示的函数（包括分段函数）的连续性95

3 函数关系未显示的函数的连续性99

2.6 综合题、杂题102

2.7 习题与答案111

2.7.1 习题111

2.7.2 答案115

第3章 导数与微分117

3.1 导数概念及其几何意义117

3.1.1 内容提要117

1 函数在一点可导117

2 函数在区间上可导118

3 导数的几何意义119

3.1.2 例题分析120

1 利用定义求函数的导数以及与导数概念有关的问题120

2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程128

3.2 导数计算131

3.2.1 内容提要131

1 导数的基本公式131

2 导数运算的基本法则132

3 复合函数求导法132

6 对数微分法133

4 反函数求导法133

5 隐函数求导法133

7 由参数方程所确定的函数的求导法134

3.2.2 例题分析134

1 利用四则、复合、隐函数求导法则求函数的导数134

2 与导数的几何意义、物理意义有关的问题146

3.3 微分概念、性质及其在近似计算中的应用156

3.3.1 内容提要156

1 函数在一点可微156

5 微分的基本公式和运算法则157

4 微分近似公式157

2 函数在区间上可微157

3 微分的几何意义157

6 微分形式不变性158

7 用微分作近似计算时的误差估计159

3.3.2 例题分析159

1 与微分概念有关的问题159

2 利用微分运算法则求函数的微分162

3 利用微分近似公式计算函数的近似值164

4 有关绝对误差、相对误差的计算168

1 高阶导数的定义169

3.4 高阶导数169

3.4.1 内容提要169

2 莱布尼茨公式170

3.4.2 例题分析170

1 利用定义或充要条件考察函数在一点的二阶可导性170

2 利用求导的运算法则求函数的二阶导数172

3 求函数的n阶导数的几种方法175

4 高阶导数的物理应用179

3.5.1 习题182

3.5 习题与答案182

3.5.2 答案194

第4章 导数的应用204

4.1 微分中值定理204

4.1.1 内容提要204

1 罗尔定理204

2 拉格朗日定理204

4.1.2 例题分析205

1 对微分中值定理的条件、结论正确理解与运用205

3 柯西定理205

2 有关证明不等式的几个命题207

3 证明不等式209

4 有关函数零值点或方程根的问题216

5 利用微分中值定理证明有关ζ的问题218

6 综合题、杂题223

4.2 求未定型的极限226

4.2.1 内容提要226

1 洛必达法则226

2 函数在一点可导的充分条件227

1 用洛必达法则求未定型极限229

4.2.2 例题分析229

2 如何求幂指函数的极限？f(x)g(x)238

3 利用可导的充分条件考察函数在一点的可导性242

4.3 泰勒公式248

4.3.1 内容提要248

1 带有拉格朗日余项的泰勒公式248

2 带有佩亚诺余项的泰勒公式249

3 5个初等函数的麦克劳林公式249

1 如何把函数在一点展成泰勒公式250

4.3.2 例题分析250

2 利用泰勒公式确定无穷小量的阶数256

3 利用泰勒公式（佩氏余项）求未定型极限257

4 利用泰勒公式（拉氏余项）求函数近似值，并估计误差264

4.4 函数的研究及函数作图267

4.4.1 内容提要267

1 函数的增减性与函数的极值点267

2 函数在一区间上的最大值和最小值268

3 曲线的凹凸性与曲线上的拐点269

1 如何求函数的增减区间及极值点270

4 曲线的渐近线270

4.4.2 例题分析270

2 如何求曲线的凹凸区间及拐点和渐近线273

3 如何作函数的图形276

4 如何求函数在定义域上的最大值和最小值282

5 最大、最小值的应用问题285

6 利用导数证明可导函数的单调性289

7 利用导数确定函数零值点（或方程的根）292

8 综合题、杂题295

4.5.1 习题303

4.5 习题与答案303

4.5.2 答案313

第5章 不定积分320

5.1 简单的不定积分计算320

5.1.1 内容提要320

1 原函数与不定积分概念320

2 基本积分表320

3 不定积分基本性质321

4 简单的变量代换法321

1 基本题分析322

5.1.2 例题分析322

2 典型方法题分析327

5.2 变量代换法与分部积分法340

5.2.1 内容提要340

1 变量代换法340

2 分部积分法340

5.2.2 例题分析340

1 变量代换法340

2 分部积分法347

1 有理函数概念358

5.3.1 内容提要358

5.3 有理函数积分法358

2 简单分式和它们的积分359

3 有理既约真分式的积分360

5.3.2 例题分析360

5.4 三角函数有理式的积分364

5.4.1 内容提要364

1 定义364

2 求三角函数有理式的积分的方法365

5.4.2 例题分析365

5.5.1 内容提要370

5.5 简单无理函数的积分370

5.5.2 例题分析371

1 被积函数含有x,？有理式的积分371

2 被积函数含有x,？有理式的积分372

5.6 综合题、杂题377

5.7 习题与答案383

5.7.1 习题383

5.7.2 答案388

2 定积分定义395

1 积分和395

6.1.1 内容提要395

6.1 定积分的概念与性质395

第6章 定积分395

3 定积分的几何意义396

4 性质396

5 定理397

6.1.2 例题分析397

1 有关定积分概念中的一些问题397

2 不等式的证明406

1 变上限定积分411

6.2 定积分计算411

6.2.1 内容提要411

2 牛顿-莱布尼茨公式412

3 变量代换法计算定积分412

4 分部积分法计算定积分412

5 计算技巧及公式412

6.2.2 例题分析413

1 概念题及简单的计算题413

2 用定积分计算和式的极限423

3 有关变上限定积分的例题427

4 综合题、杂题434

6.3 定积分应用452

6.3.1 内容提要452

1 用定积分解决实际问题的一般方法452

2 常用的几个公式453

6.3.2 例题分析455

1 定积分的几何应用——平面图形的面积与弧长455

2 定积分的几何应用——体积461

3 定积分的物理应用——动能、转动惯量、引力、功及质心467

1 积分区间为无穷的广义积分483

6.4.1 内容提要483

6.4 广义积分483

2 被积函数有无穷型不连续点的广义积分484

3 收敛性判别法485

6.4.2 例题分析486

6.5 习题与答案497

6.5.1 习题497

6.5.2 答案503

2 矢量507

1 空间直角坐标系的基本问题507

7.1.1 内容提要507

7.1 空间直角坐标系 矢量代数507

第7章 空间解析几何及矢量代数507

3 矢量在轴上的投影，射影定理508

4 矢量的坐标表达式508

5 矢量的加、减法和数乘矢量509

6 线性关系510

7 矢量的数量积（点积）510

8 矢量的矢量积（叉积）510

9 三个矢量的积511

1 矢量的概念及其加减法512

7.1.2 例题分析512

2 数乘 数量积 矢量积517

3 杂题 证明题523

7.2 平面与直线（一）531

7.2.1 内容提要531

1 曲面与方程531

2 平面方程531

3 直线方程532

1 特殊平面的方程533

7.2.2 例题分析533

2 求平面的方程535

3 求直线的方程538

7.3 平面与直线（二）545

7.3.1 内容提要545

1 有关平面的问题545

2 有关直线的问题545

3 直线和平面的有关问题546

7.3.2 例题分析547

1 平面之间的夹角，直线与平面的交点，直线间平行、垂直、相交547

2 直线在平面上的投影方程553

3 平面直线的综合题、杂题555

7.4 二次曲面的标准方程574

7.4.1 内容提要574

1 曲面与方程574

2 空间曲线与方程575

3 二次曲面的标准方程575

7.4.2 例题分析576

1 球面方程、旋转面方程576

2 投影柱面、投影曲线方程580

3 作方程的图形581

4 杂题583

7.5 习题与答案585

7.5.1 习题585

7.5.2 答案593

自我检查题及解答597

自我检查题（1）597

自我检查题（1）解答598

自我检查题（2）607

自我检查题（2）解答608