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第一章 数列极限1

1 数列极限的定义和基本性质1

1.1 数列极限的定义1

1.2 数列极限的基本性质3

2 借助不等式估计作极限论证举例9

3 与实数理论有关的几个基本定理13

3.1 单调有界原理13

3.2 闭区间套定理16

3.3 单调有界原理、闭区间套定理与确界原理的等价性19

4.1 上下数列与上下极限22

4 上下极限22

4.2 用上下极限判定极限的存在性24

5 Cauchy收敛准则28

5.1 Cauchy数列28

5.2 用Cauchy准则判定极限的存在性30

6 子数列31

6.1 子数列收敛定理31

6.2 用子数列收敛定理证明Cauchy准则的充分性32

6.3 用子数列判定极限的存在性33

6.4 无界数列33

6.5 用子数列判定极限的非存在性34

1.1 函数及其图形36

第二章 函数极限36

1 函数的基本概念36

1.2 复合函数和反函数37

1.3 初等函数38

1.4 非初等函数举例42

2 函数极限的定义与性质44

2.1 函数在一点处的极限44

2.2 函数在无穷远处的极限48

2.3 函数极限的性质49

3 函数极限的判定52

3.1 函数极限与数列极限的关系52

3.3 单调有界原理54

3.2 Cauchy准则54

3.4 上下极限＊55

3.5 函数极限的非存在性判定55

第三章 函数的连续性59

1 函数连续性的定义59

1.1 连续点的定义59

1.2 间断点的定义60

1.3 连续函数的定义60

2 函数的连续性与四则和复合运算62

3.2 最值定理64

3 闭区间上连续函数的性质64

3.1 有界性定理64

3.3 介值定理65

3.4 一致连续性66

4 初等函数的连续性69

第四章 导数与微分72

1 导数的几何与物理背景72

1.1 曲线在其上一点处的切线72

1.2 变速直线运动物体的瞬时速度73

1.3 非稳恒电流的电流强度74

2.1 导数的定义75

2 导数及其运算法则75

1.4 非均匀杆的线密度75

2.2 可导与连续的关系76

2.3 导数的四则运算77

2.4 复合函数的导数79

2.5 反函数的导数80

2.6 基本初等函数的导数80

2.7 导数计算例题84

3 无穷小量与无穷大量87

4 微分90

4.1 微分的定义及与导数的关系90

4.2 微分的运算法则92

5 高阶导数和高阶微分95

5.1 高阶导数95

5.2 高阶微分99

6 曲线的曲率与密切圆102

第五章 中值定理与Taylor公式110

1 微分中值定理110

1.1 Fermat引理110

1.2 微分中值定理110

1.3 Darboux定理115

2 L'Hospital法则117

3 Taylor公式125

3.1 Taylor公式的一般形式126

3.2 若干初等函数的Maclaurin公式128

3.3 Taylor公式应用举例131

4 函数性质的研究与作图134

4.1 函数的单调性134

4.2 函数的极值与最值136

4.3 函数的凸性与拐点141

4.4 函数作图148

5 解方程的Newton法153

1.1 原函数和不定积分的概念156

1 不定积分的概念与线性性质156

第六章 不定积分156

1.2 基本积分公式158

1.3 不定积分的线性性质158

2 换元积分法160

2.1 第一换元积分法161

2.2 第二换元积分法164

3 分部积分法169

4 有理函数的积分及相关积分173

4.1 有理函数的积分174

4.2 三角函数有理式的积分178

4.3 ？R(x,？)dx型积分180

4.4 ？R(x,？)dx型积分181

第七章 定积分186

1 定积分的概念186

1.1 曲边梯形的面积186

1.2 变力做功187

1.3 变速直线运动的路程187

1.4 定积分的定义188

2 可积性条件190

2.1 可积的必要条件190

2.2 Darboux和191

2.3 可积的充要条件192

3 定积分的基本性质197

4 微积分学基本定理203

4.1 原函数存在定理203

4.2 Newton-Leibniz公式204

5 定积分的计算208

5.1 定积分的换元法208

5.2 定积分的分部积分法212

5.3 Taylor公式的积分型余项214

5.4 例题选讲215

6 积分中值定理219

7.1 微元法225

7 定积分的应用225

7.2 定积分在几何上的应用227

7.3 定积分在物理上的应用239

第八章 数项级数244

1 级数的概念与基本性质244

1.1 收敛与发散244

1.2 级数的基本性质245

2 正项级数249

3 变号级数261

3.1 Leibniz判别法261

3.3 Abel判别法和Dirichlet判别法263

3.2 绝对收敛与条件收敛263

4.1 无穷级数中各项的次序重排268

4 级数的代数运算268

4.2 级数的乘法272

第九章 广义积分275

1 广义积分的定义与基本性质275

1.1 无穷积分的定义275

1.2 瑕积分的定义277

1.3 广义积分的基本性质280

2 非负函数的广义积分283

3 一般函数的广义积分291

1 一致收敛性298

第十章 函数项级数298

1.1 一致收敛的概念299

1.2 Cauchy准则303

1.3 函数级数一致收敛判别法304

1.4 广义一致收敛308

2 函数级数的和函数的性质311

2.1 连续性311

2.2 逐项积分312

2.3 逐项微分314

2.4 Dini定理317

3 幂级数319

3.1 幂级数的收敛域320

3.2 幂级数的性质322

3.3 Taylor级数326

4 连续函数表示为多项式序列的一致极限334

第十一章 Fourier级数338

1 简谐振动及其叠加338

2 若干预备知识340

2.1 按段单调性和光滑性341

2.2 三角函数系的直交性341

3.1 Fourier系数的确定343

3 Fourier系数343

3.2 计算Fourier系数的例题345

3.3 Bessel不等式347

3.4 Riemann引理348

4 收敛性定理350

4.1 收敛性条件350

4.2 Fourier展开式举例355

5 正弦展开和余弦展开360

6 Fourier级数的一致收敛性363

7 逐项积分与逐项微分366

8 Fourier级数的指数形式与任意周期情形368