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第1章 函数、极限与连续1

1.1 函数2

1.1.1 函数的概念2

1.1.2 函数的几种重要特性4

1.1.3 复合函数与反函数5

1.1.4 映射7

1.1.5 初等函数与非初等函数8

习题1.19

1.2 极限11

1.2.1 极限概念引例12

1.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限13

1.2.3 自变量趋于无穷大时函数的极限16

1.2.4 数列的极限18

1.2.5 无穷小与无穷大19

习题1.221

1.3 极限的性质与运算22

1.3.1 极限的几个性质22

1.3.2 极限的四则运算法则24

1.3.3 函数极限与数列极限的关系26

1.3.4 夹逼法则27

1.3.5 复合运算法则29

习题1.330

1.4 单调有界原理和无理数e31

1.4.1 单调有界原理32

1.4.2 极限？(1+？)=e33

1.4.3 指数函数ex，对数函数lnx，双曲函数35

1.5.1 无穷小的阶37

习题1.437

1.5 无穷小的阶37

1.5.2 利用等价无穷小代换求极限39

习题1.540

1.6 函数的连续与间断41

1.6.1 函数的连续与间断41

1.6.2 初等函数的连续性45

习题1.648

1.7.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质49

1.7 闭区间上连续函数的性质49

1.7.2 闭区间上连续函数的介值性质50

1.7.3 函数的一致连续性53

习题1.755

复习题一55

习题参考答案与提示57

第2章 一元函数微分学及其应用61

2.1.1 变化率问题举例62

2.1 导数概念62

2.1.2 导数的概念63

2.1.3 用定义求导数举例65

2.1.4 导数的几何意义66

2.1.5 函数可导性与连续性的关系67

2.1.6 导数概念在其他学科中的应用举例67

习题2.169

2.2 求导法则70

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则70

2.2.2 复合函数的求导法则72

2.2.3 反函数的求导法则73

2.2.4 一些特殊的求导法则75

习题2.278

2.3 高阶导数与相关变化率80

2.3.1 高阶导数80

2.3.2 相关变化率84

习题2.385

2.4 函数的微分与函数的局部线性逼近86

2.4.1 微分的概念86

2.4.2 微分公式与运算法则88

2.4.3 微分的几何意义及简单应用90

习题2.492

2.5 利用导数求极限——洛必达法则93

2.5.1 ？型未定式的极限94

2.5.2 ？型未定式的极限95

2.5.3 其他类型未定式的极限96

习题2.598

2.6 微分中值定理99

2.6.1 罗尔定理99

2.6.2 拉格朗日中值定理100

2.6.3 柯西中值定理102

习题2.6104

2.7 泰勒公式——用多项式逼近函数105

2.7.1 泰勒多项式与泰勒公式105

2.7.2 常用函数的麦克劳林公式108

习题2.7112

2.8 利用导数研究函数的性态113

2.8.1 函数的单调性113

2.8.2 函数的极值115

2.8.3 函数的最大值与最小值116

2.8.4 函数的凸性与拐点118

2.8.5 曲线的渐近线，函数作图120

习题2.8121

2.9 平面曲线的曲率123

2.9.1 弧微分123

2.9.2 曲率和曲率公式124

习题2.9127

复习题二127

习题参考答案与提示129

第3章 一元函数积分学及其应用133

3.1 定积分的概念、性质、可积准则134

3.1.1 定积分问题举例134

3.1.2 定积分的概念135

3.1.3 定积分的几何意义137

3.1.4 可积准则137

3.1.5 定积分的性质138

习题3.1142

3.2 微积分基本定理142

3.2.1 牛顿-莱布尼兹公式143

3.2.2 原函数存在定理144

习题3.2148

3.3 不定积分148

3.3.1 不定积分的概念及性质148

3.3.2 基本积分公式150

3.3.3 积分法则150

习题3.3160

3.4 定积分的计算162

3.4.1 定积分的换元法162

3.4.2 定积分的分部积分法166

习题3.4167

3.5 定积分应用举例168

3.5.1 总量的可加性与微元法168

3.5.2 几何应用举例169

3.5.3 物理、力学应用举例174

3.5.4 函数的平均值177

习题3.5177

3.6 反常积分178

3.6.1 无穷区间上的反常积分179

3.6.2 无界函数的反常积分181

3.6.3 反常积分的收敛判别法183

习题3.6185

复习题三186

习题参考答案与提示188

第4章 微分方程193

4.1 微分方程的基本概念194

4.2 某些简单微分方程的初等积分法197

4.2.1 一阶变量分离方程197

习题4.1197

4.2.2 一阶线性微分方程199

4.2.3 利用变量代换求解微分方程201

4.2.4 某些可降阶的高阶微分方程204

习题4.2207

4.3 微分方程应用举例208

习题4.3212

4.4 高阶线性方程213

4.4.1 线性微分方程通解的结构213

4.4.2 高阶常系数齐次线性微分方程的解法216

4.4.3 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法218

4.4.4 变系数线性微分方程的解法223

习题4.4226

复习题四227

习题参考答案与提示229

附录1 几种常见曲线233

附录2 汉英数学名词对照与索引235

附录3 希腊字母表239

主要参考书目240