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第一部分 高等数学3

第一章 函数、极限与连续3

1 知识要点精讲3

2 重要公式与结论17

3 典型题型与例题分析19

题型一 函数关系的建立19

题型二 考查函数的特性21

题型三 求函数极限22

题型四 求数列极限31

题型五 求解含参变量的极限37

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数38

题型七 无穷小比较40

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型41

题型九 确定方程f（x）＝0的根43

题型十 综合题44

习题精选一46

习题精选一参考答案48

第二章 导数与微分49

1 知识要点精讲49

2 重要公式与结论56

3 典型题型与例题分析57

题型一 利用导数定义解题57

题型二 求分段函数的导数61

题型三 导数在几何上的应用63

题型四 变限积分求导66

题型五 利用导数公式与运算法则求导69

题型六 综合题72

习题精选二75

习题精选二参考答案76

第三章 微分中值定理与导数的应用77

1 知识要点精讲77

2 典型题型与例题分析87

题型一 证明存在ξ，使f（ξ）＝087

题型二 证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n＝1,2，…）89

题型三 证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ），…）＝091

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明95

题型五 双介值问题，要证存在ξ，η使G（f′（ξ），f′（η），…）＝097

题型六 证明存在ξ，使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）99

题型七 有关介值的不等式证明100

题型八 隐含介值问题101

题型九 不等式的证明104

题型十 利用导数证明函数恒等式115

题型十一 利用导数判别函数的单调性116

题型十二 利用导数研究函数的极值与最值117

题型十三 曲线的凹凸性与拐点118

题型十四 求曲线的渐近线119

题型十五 函数作图120

题型十六 求曲率与曲率半径121

题型十七 综合题122

习题精选三124

习题精选三参考答案126

第四章 一元函数积分学127

1 知识要点精讲127

2 重要公式与结论148

3 典型题型与例题分析149

题型一 计算不定积分149

题型二 不定积分综合题153

题型三 有关定积分的概念与性质的问题158

题型四 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分160

题型五 对称区间上的积分164

题型六 涉及变限积分的问题165

题型七 定积分循环计算法170

题型八 几类特殊积分问题171

题型九 反常（广义）积分的计算174

题型十 定积分等式的证明178

题型十一 定积分不等式的证明180

题型十二 定积分的几何（物理）应用183

题型十三 综合题188

习题精选四193

习题精选四参考答案195

第五章 向量代数与空间解析几何196

1 知识要点精讲及主要公式与结论196

2 典型题型与例题分析202

题型一 与向量代数有关的计算问题202

题型二 求平面与直线方程202

题型三 讨论平面与直线的位置关系205

题型四 求对称点、投影点及投影曲线206

题型五 综合题207

习题精选五208

习题精选五参考答案209

第六章 多元函数微分学210

1 知识要点精讲及主要公式与结论210

2 典型题型与例题分析219

题型一 基本概念题219

题型二 求复合函数的偏导数或全微分221

题型三 求隐函数的偏导数或全微分223

题型四 已知偏导数，反求函数关系226

题型五 多元函数的极值和最值问题227

题型六 求多元函数的梯度或方向导数232

题型七 多元函数微分学的几何应用233

题型八 综合题234

习题精选六236

习题精选六参考答案237

第七章 重积分239

1 知识要点精讲239

2 重要公式与结论246

3 典型题型与例题分析247

题型一 考查二重积分的基本概念与性质247

题型二 二重积分的基本计算方法248

题型三 利用重积分的对称性简化计算251

题型四 交换积分次序253

题型五 分区域函数的二重积分254

题型六 反常（广义）二重积分256

题型七 直角坐标系下计算三重积分（适用于方形区域）257

题型八 利用“先二后一”法（适用于旋转体类型的区域）257

题型九 利用柱面坐标（适用于区域含柱形体的情形）257

题型十 利用球面坐标（适用于区域含球形的情形）258

题型十一 综合题258

习题精选七262

习题精选七参考答案264

第八章 曲线、曲面积分265

1 知识要点精讲265

2 重要公式与结论273

3 典型题型与例题分析274

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法274

题型二 对坐标的曲线积分的计算方法275

题型三 对面积的曲面积分的计算方法280

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法282

题型五 求曲面的面积286

题型六 求向量场的散度及旋度288

题型七 综合题288

习题精选八291

习题精选八参考答案293

第九章 无穷级数295

1 知识要点精讲295

2 重要公式与结论303

3 典型题型与例题分析304

题型一 判定常数项级数的收敛性304

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间307

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数308

题型四 幂级数的展开310

题型五 傅里叶级数的展开311

题型六 综合题313

习题精选九315

习题精选九参考答案317

第十章 常微分方程318

1 知识要点精讲318

2 基本方法328

3 典型题型与例题分析329

题型一 可化为一阶线性微分方程的求解及全微分方程求解329

题型二 可化为变量可分离微分方程的求解332

题型三 可降阶的高阶微分方程333

题型四 高阶线性微分方程和可化为二阶常系数线性微分方程的求解335

题型五 综合题与应用题338

习题精选十343

习题精选十参考答案345

第二部分 线性代数349

第一章 行列式349

1 知识要点精讲349

2 难点、疑点解析及重要公式与结论353

3 典型题型与例题分析356

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式356

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式357

题型三 利用多项式分解因式计算行列式358

题型四 抽象行列式的计算或证明359

题型五 n阶行列式的计算361

题型六 利用特征值计算行列式366

题型七 综合题367

习题精选一370

习题精选一参考答案371

第二章 矩阵372

1 知识要点精讲372

2 难点、疑点解析及重要公式与结论381

3 典型题型与例题分析384

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵384

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性387

题型三 考查矩阵运算的特殊性388

题型四 解矩阵方程390

题型五 求方阵A的高次幂An393

题型六 利用伴随矩阵A进行计算或证明394

题型七 有关初等矩阵的问题396

题型八 求矩阵的秩397

题型九 综合题400

习题精选二402

习题精选二参考答案404

第三章 向量406

1 知识要点精讲406

2 难点、疑点解析及重要公式与结论417

3 典型题型与例题分析419

题型一 判定向量组的线性相关性419

题型二 把一个向量用一组向量线性表示425

题型三 求向量组的秩431

题型四 有关矩阵秩的命题434

题型五 有关向量空间的基本概念题435

题型六 综合题437

习题精选三439

习题精选三参考答案441

第四章 线性方程组442

1 知识要点精讲442

2 难点、疑点解析及重要公式与结论447

3 典型题型与例题分析449

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构）449

题型二 含有参数的线性方程组的求解451

题型三 抽象线性方程组求解459

题型四 讨论两个方程组的公共解461

题型五 讨论两个方程组解之间的关系465

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数467

题型七 有关基础解系的讨论468

题型八 有关AB＝0的应用472

题型九 综合题473

习题精选四481

习题精选四参考答案484

第五章 特征值与特征向量485

1 知识要点精讲485

2 难点、疑点解析及重要公式与结论491

3 典型题型与例题分析493

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算493

题型二 计算抽象矩阵的特征值495

题型三 特征值、特征向量的逆问题499

题型四 矩形相似与对角化的讨论503

题型五 有关实对称矩阵的命题509

题型六 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题511

题型七 有关特征值、特征向量的证明问题516

题型八 综合题518

习题精选五523

习题精选五参考答案526

第六章 二次型528

1 知识要点精讲528

2 难点、疑点解析及重要公式与结论535

3 典型题型与例题分析536

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数）536

题型二 化二次型为标准形537

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明544

题型四 综合题548

习题精选六551

习题精选六参考答案553

第三部分 概率论与数理统计557

第一章 随机事件与概率557

1 知识要点精讲557

2 补充注释与重要结论562

3 典型题型与例题分析565

题型一 事件的表示和运算565

题型二 有关概率基本性质的命题566

题型三 古典概型与几何概型的概率计算569

题型四 事件独立性的命题573

题型五 条件概率与积事件概率的计算575

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型579

题型七 伯努利试验582

题型八 综合题583

习题精选一586

习题精选一参考答案588

第二章 随机变量及其分布589

1 知识要点精讲589

2 补充注释与重要结论592

3 典型题型与例题分析595

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题595

题型二 求随机变量的分布律与分布函数599

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数605

题型四 利用常见分布求相关事件的概率607

题型五 求随机变量函数的分布608

题型六 综合题614

习题精选二616

习题精选二参考答案618

第三章 多维随机变量及其分布619

1 知识要点精讲619

2 补充注释与重要结论624

3 典型题型与例题分析626

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算626

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数634

题型三 利用已知分布求相关事件的概率635

题型四 随机变量函数的分布637

题型五 随机变量的独立性的讨论644

题型六 综合题645

习题精选三648

习题精选三参考答案650

第四章 随机变量的数字特征653

1 知识要点精讲653

2 补充注释与重要结论656

3 典型题型与例题分析657

题型一 期望和方差的计算657

题型二 随机变量函数的数学期望与方差661

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题668

题型四 有关数字特征的应用题673

题型五 综合题676

习题精选四678

习题精选四参考答案680

第五章 大数定律和中心极限定理681

1 知识要点精讲681

2 典型题型与例题分析683

题型一 有关切比雪夫不等式的命题683

题型二 有关大数定律的命题685

题型三 有关中心极限定理的命题686

题型四 综合题690

习题精选五691

习题精选五参考答案692

第六章 数理统计的基本概念694

1 知识要点精讲694

2 补充注释与重要结论700

3 典型题型与例题分析701

题型一 求样本容量n，或与样本均值？和样本方差S2有关的概率701

题型二 求统计量的数字特征702

题型三 求统计量的分布705

习题精选六707

习题精选六参考答案708

第七章 参数估计709

1 知识要点精讲709

2 补充注释与重要结论712

3 典型题型与例题分析713

题型一 求矩法估计和最大似然估计713

题型二 估计量评选标准的讨论720

题型三 参数的区间估计725

题型四 综合题727

习题精选七728

习题精选七参考答案730

第八章 假设检验731

1 知识要点精讲731

2 补充注释与重要结论733

3 典型题型与例题分析733

题型一 正态总体未知参数的假设检验733

题型二 有关两类错误的命题734

习题精选八736

习题精选八参考答案737