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第一章 集合1

0.引言1

1.集A与B，使A° ∪ B° ≠ （A∪ B）°4

2.集A与B，使A∩B≠A∩B4

3.集序列｛An｝，使∩∞n=1A°n≠（∩∞n=1An）°5

4.集序列｛An｝，使∪∞n=1An≠∪∞n=1An5

5.集A与B，使（A∩B）’≠A’∩B’5

6.集序列｛An｝，使（∪∞n=1An）’≠∪∞n=1A’n6

7.使（F°）≠F的闭集F6

8.使（G）°≠G的开集G6

9.集A， B与映射f，使得f（A∩B）≠f（A）∩f（B）6

10.集A， B与映射f，使B？A而f（AB）≠f（A）f（B）7

11.f （A） ？ f （B）不蕴涵A？B的映射f7

12.不闭的Fσ型集7

13.不开的Gδ型集7

14.一个不可数的实数集，它的每个闭子集都是可数的7

15.直线上的仅由边界点所组成的不可数集7

16.直线上的一个离散子集，它的闭包是一个不可数集7

17.一个正实数无穷集E，对于它，不存在α＞0，使E ∩ （α，+∞）是无穷集8

18.一个集，它的直到n-1阶导集非空，而n阶导集是空集8

19.集E，它的各阶导集E’， E”，…， E（n），…两两相异，且∩∞n=1E（n）=？8

20.集A，它的各阶导集A’， A”，…， A（n），…两两相异，且∩∞n=1A（n）≠？9

21.集S和开集Gk， k=1， 2，…，使Gk在S中稠密，而∩∞k=1Gk在S中不稠密9

22.直线上的两个不相交的处处稠密的不可数集9

23.直线上的一列两两不相交的处处稠密的可数集9

24.直线上的一列两两不相交的处处稠密的不可数集10

25.直线上的一个处处稠密的渐缩集序列｛En｝，满足∩n=1En=？10

26.一个渐缩的非空有界开集序列，其交是空集10

27.一个渐缩的无界闭集序列，其交是空集10

28.一个紧集，它的导集是可数集11

29.两个完备集，其交不是完备集11

30.可数个完备集，其并不是完备集11

31.完备的疏集11

32.无理数的完备疏集12

33.一个疏集序列，其并是稠密集12

34.两个不相交的疏集，其中任一集的每个点都是另一集的聚点12

35.一个第二纲的集，它的余集不是第一纲的集12

36.一个有界闭集被诸闭区间覆盖而不能从中取出有限子覆盖12

37. [0，1]中的两个不相交的稠密集A与B，满足[0， 1]=A∪B，且对任何α，β（0 ≤α＜β ≤ 1），交集（α，β） ∩ A与（α，β） ∩ B都具有连续统的势13

38.任给势小于？的实数子集Q，有实数a，使对每一x∈ Q， x+a皆为无理数13

第二章 函数15

0.引言15

1.一个发散序列｛an｝，使｛|an |｝收敛17

2.两个非负的发散序列，其积却收敛于零17

3.两个非负的发散序列，其和却是一个收敛序列17

4.算术平均值收敛的发散序列18

5.不是有界变差的收敛序列18

6.对每个正整数p，都有limn→∞（an+p-an）=0的发散序列｛an ｝18

7.对任意严格递增的正整数序列｛φn｝=｛φ（n）｝，能使limn→∞（aφ（n）-an）=0的发散序列｛an ｝19

8.函数f，对于它，存在函数g使gof =I，而不存在函数h，使foh=I19

9.函数f，对于它，存在无穷多个g适合fog=go f20

10.在某点对称连续而不连续的函数20

11.函数f，使f在x0的任何邻域内都是无界的，但当x→x0时f（x）并不趋于无穷大20

12.没有最小正周期的非常值周期函数21

13.一个处处不连续的非常值周期函数，它具有最小正周期21

14.存在一个没有最小正周期的周期函数，它的值域是可数集21

15.存在一个没有最小正周期的周期函数，它的值域是不可数集22

16.存在两个具有不同周期的周期函数，其和仍是一个周期函数22

17.存在两个具有最小正周期的函数，它们之间无可公度的周期，但其和（积）仍为周期函数23

18.存在一个非周期函数f，使|f|是周期函数25

19.处处有限而又处处局部无界的函数26

20.一个无处连续函数，其绝对值却处处连续26

21.有唯一个连续点的函数26

22.关于乘积函数连续性的例子26

23.关于复合函数连续性的例子27

24.两个正则函数，构成非正则的复合函数28

25. [0，1]的一个闭子集X0及X0到X0上的两个可换连续映射f， g，不存在f，g的可换连续扩张29

26.函数y=f （u）， u=g（x）适合limu→Af （u）=B， limx→ag（x）=A，但limx→af [g（x）]不存在29

27.函数y=f （u）和u=g（x），其复合函数f [g（x）]处处连续，并适合limu→b f （u）=c， limx→a g（x）=b， limx→af [g（x）] ≠ c30

28.函数fn （x） （n=1， 2，…）在x0均连续，而f （x）=suPn fn （x）在x0间断30

29.一个无处连续函数，其反函数却处处连续31

30.有限区间上的一个一对一的连续函数，其反函数不连续31

31.不能作为任何连续函数序列的极限的函数31

32. [0，1]上的一个函数f，它的连续点所成之集在[0，1]中稠密，但f不是某个连续函数序列的极限32

33. [0，1]上的一个具有不可数间断点的函数，它却是某个连续函数序列的极限32

34.函数序列｛f（n）kn）｝，对于任意固定的n，当k→∞时｛f（n）k （x）｝处处收敛于f（n）（x），而当n→∞时｛f（n）（x）｝处处收敛于f（x），但｛f（n）k（x）｝的任何子列并不处处收敛于f（x）33

35.仅在有理点间断的严格递增的函数34

36.在Cantor集上连续而在它的邻接区间上无处连续的函数35

37.在Cantor集上无处连续而在它的邻接区间上连续的函数36

38.在任意给定的Fσ型集上间断的函数37

39. [0，1]上的一个函数f，它的连续点所成之集A与间断点所成之集B在[0， 1]内都稠密，且对任何开区间（α，β）？[0，1]，交集A∩（α，β）与B∩（α，β）都具有连续统的势37

40.不能在全轴上作连续扩张的有界集上的有界连续函数38

41.以一个任意的非紧集为定义域的连续的无界函数38

42.（0， +∞）上的一个实值函数f，它在无穷多个点上连续，且对每一x∈ （0，+∞），f （x）=0当且仅当f （2x）≠038

43. [0， +∞）上的一个连续且有界的函数，它在[0， +∞）上不一致连续39

44.两个一致连续的函数，其积不一致连续39

45.一个一致连续的函数，其反函数不一致连续39

46.两个间断函数，其最小值函数却是一致连续的39

47.在开区间I1与I2上均一致连续，但在I1 ∪ I2上不一致连续的函数40

48.两个单调函数f，g，其中f连续而g间断，但复合函数fog却是连续的单调函数40

49.两个区间之间一个无处单调的一一对应41

50.两个严格递增的函数，其积不是单调函数41

51.无处单调的连续函数41

52.以一个任意的非紧集为定义域的连续的有界函数，它没有极值42

53.定义域为紧集的没有局部极值的有界函数42

54.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数42

55.处处取得局部极小值的非常值函数43

56.在每个区间上有一个真正局部极大的函数43

57.具有介值性质的间断函数44

58.两个具有介值性质的函数，其和却没有介值性质45

59.定义在[0， 1]内而取值于[0， 1]中的一个无处连续函数，它在每个任意小的非空子区间上都取尽[0， 1]中的一切值45

60.一个无处连续的开函数，它在任何区间上都不具有介值性质46

61.一个无处连续函数f，而具有性质f （x+y） = f（x） + f（y）46

62.若干个半连续函数，它们的和是一个无处半连续的函数47

63.两个半连续函数，其最小值函数并不半连续48

64.无处半连续的函数48

65.无处连续而又处处半连续的函数48

66.一个收敛的上半连续函数序列，其极限函数并不上半连续48

67.一个不连续映射，使开集的像是开集49

68.一个连续映射，使某个无界闭集的像不是闭集49

69.一个疏集A，以及从A到单位闭区间[0， 1]上的一个连续映射50

第三章 微分51

0.引言51

1.仅在一点连续并可微的函数52

2.存在一个可微函数f，而其绝对值函数|f|并不可微52

3.一个无处可微函数f，使limn→∞n[f （x+1/n）-f （x）]存在52

4.关于乘积函数可微性的例子53

5.关于复合函数可微性的例子53

6.处处有导数（不必有限）的不连续函数54

7.两个在点x0均可微，而使max｛f，g｝与min｛f，g｝在x0都不可微的函数f和g55

8. [a， b]上的函数f，它满足Rolle定理的三个条件中任两个条件，但不存在ξ∈（a，b），使f’（ξ）=055

9.函数f，它在[a， b]上有连续的导函数f’，但对[a， b]内某点ξ，不存在x1， x2，使得f（x2）-f（x1）/x2-x1=f’（ξ）， x1＜ξ＜x256

10.中值定理失效的可微复值函数56

11. L’Hospital法则失效的复值函数的不等式57

12.一个在某点有极值的无穷可微函数，它的各阶导数在该点的值全都是零57

13.一个连续函数，它在原点的每个邻域内有无穷多个局部极值58

14.函数f，使limh→0 [ f （x+h）+f （x-h）-2f （x）]/h2存在而f”（x）不存在58

15. [0，1]上的一个可微函数，其导数在无理点连续而在有理点间断59

16. [0，1]上的一个可微函数，其导数在已给的非空完备疏集上无处连续59

17.一个具有连续导数的严格递增函数，其导数在已给的完备疏集上恒为零60

18.一个严格递增的连续函数，它不处处可微60

19.一个单调函数，其导函数并不单调61

20. R1上的一个严格单调的有界可微函数f，使limx→±∞f’（x）≠061

21.一个在某点有极值的可微函数，它在该点的左右两侧都不是单调的62

22.一个可微函数f，使f’（x0）＞ 0，但f在包含点x0的任何开区间内都不是单调的62

23.函数f，使f （x）与f（x）=limh→0[f（x+h）-f （x-h）]/（2h）在x=x0都连续而f’（x0）并不存在62

24.一个可微函数f，当x为有理数时，f （x）为有理数，而f’（x）为无理数63

25. （0，1）上的一个可微函数f，使limx→0+ f （x）=∞，但limx→0+ f’（x）=∞并不成立63

26. （0，1）上的一个可微函数f，使f在（0，1）上有界而f’在（0，1）上无界63

27.在已知点a1，a2，…， an没有导数的连续函数64

28.在无理点可微而在有理点不可微的连续函数64

29.处处连续而无处可微的函数65

30.处处连续而仅在一点可微的函数68

31.任给Gδ型的可数集E，可构造非减函数f，其导数满足条件：f’ （x）=∞（x ∈ E），f’（x）=0 （x∈E）69

32.无处存在单侧导数（有限或无穷）的连续函数69

33. [0，1]上的一个无穷可微函数f，使｛x：f （x）=0｝为不可数的疏集72

34.函数f，使f ∈ Hα [a， b]，而f∈ Hβ [a， b]， 0＜α＜β72

35.函数f，使f ∈H1（-∞， +∞），而对任何α（0＜α＜1）， f∈Hα（-∞， +∞）72

36.满足α阶Holder条件的无处可微的连续函数72

37.不满足任何阶Holder条件的可微函数73

38.处处可微而无处单调的函数73

39.在每个非空区间上都能取得局部极大值和局部极小值的可微函数77

40.满足Lipschitz条件而无处单调的函数77

第四章 Riemann积分79

0.引言79

1.函数f，使|f|（R）可积而f不（R）可积80

2.没有原函数的（R）可积函数81

3.在任何区间上都没有原函数的（R）可积函数81

4.在闭区间上有原函数但不（R）可积的函数81

5.以任意零测度的Fσ集作为间断点集的（R）可积函数82

6.与（R）可积函数对等但本身并不（R）可积的函数82

7.一个（R）可积函数，在某个可数集上任意改变它的值（但这些数值全体要组成有界集合），而不影响它的可积性82

8.复合函数是否（R）可积的各种实例83

9.两个函数f与g，使f2与g2皆（R）可积而（f +g）2并不（R）可积85

10.一个有界函数序列的极限，它在任何非空区间上都不（R）可积86

11.一个（R）可积函数序列，其上确界函数并不（R）可积86

12.积分的极限不等于极限的积分的函数序列86

13.一个（R）可积函数f，使g（x）=∫x0 f （t）dt处处可微，但在一个稠密集上，g’（x）≠ f（x）87

14.一个（R）可积函数f，使g （x）=∫0x f （t） dt不处处可微87

15.函数f和g，使得f在[a， b]上（R）可积，g在[a， b]上不变号且（R）可积，而在（a， b）中不存在满足等式∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx的ξ88

16.函数f和g，使∫ca f （x） dg（x）和∫ba f（x）dg（x）均存在，而∫baf（x）dg（x）不存在（a＜c＜b）88

17.函数f和g，使∫a f （x） dg（x）存在，但改变f在某个点的值，∫ba f（x）dg（x）就不存在89

18. （0’ l）上的一个无界函数，其广义（R）积分∫ 10 f （x）dx不是对应的积分和式∑n-i i=0 f （ξi）△xi的极限89

19. （0，1）内的一个单调函数f，使limn→∞∑n-1 k=1 1/n f（k/n）存在而f并不广义（R）可积90

20.收敛而不绝对收敛的广义积分90

21.函数f和g，使f广义（R）可积而g有界，但fg并不广义（R）可积91

22. [0， +∞）上的一个函数，它在（0， +∞）的任何有限子区间上取正值、有界、可积，并且积分∫0+∞（f（x））αdx当α=1时收敛，而当α为不等于1的实数时发散92

23.函数f，使|f|广义（R）可积而x2并不广义（R）可积92

24. [1， +∞）上的一个函数f，使f2广义（R）可积而|f|并不广义（R）可积93

25.在[1， +∞）上广义（R）可积的正值连续函数f，使limx→+∞f （x）≠ 093

26.广义积分∫+∞0 f （x）dx收敛而在每个区间[a，+∞）（a ＞ 0）上f （x）是无界、非负连续函数94

27.一个有理函数R，使对任何在（-∞，+∞）上广义（R）可积函数f，都有∫+∞ -8f[R（x）]dx=∫+∞ -8 f（x）dx94

28. Cauchy主值为有限的发散广义积分94

第五章 无穷级数95

0.引言95

1.一个收敛级数∑∞n=1 an，使∑∞n=1a2n发散97

2.一个发散的正项级数∑∞n=1 an，使∑∞n=1a2n收敛97

3.一个发散级数∑∞n=1 an，使对每一k≥2，级数∑∞n=2 akn都收敛97

4.一个收敛的正项级数∑∞n=1an，使∑∞n=1？an/？n发散98

5.一个发散级数∑∞n=1an，使∑∞n=1（a2n-1+a2n）收敛98

6.级数∑∞n=1an收敛且limn→∞bn/an=1，而级数∑∞n=1bn却发散98

7.任给一个发散的正项级数∑∞n=1 an，可以找到一个收敛于零的正数序列｛cn｝，使∑∞n=1 cnan仍然发散98

8.任给一个收敛的正项级数∑∞n=1 an，可以找到一个收敛于零的正数序列｛cn｝，使∑∞n=1 an/cn仍然收敛99

9.给定使lim n→∞bn=0的正数序列｛bn｝，有一个正项发散级数∑∞n=1an，适合limn→∞an=0且limn→∞ an/bn=0100

10.给定使limn bn=0的正数序列｛bn｝，有一个正项收敛级数∑∞n=1an，适合limn→∞ an/bn=+∞100

11.给定一个满足limn→∞cn=0的正数序列｛cn｝，有一个正项收敛级数∑∞n=1an和一个正项发散级数∑∞n=1bn，能使an/bn=cn100

12.任给正数s，可以找到一个正项级数∑∞n=1 an，使对任何正数σ（0＜σ≤s），都可以用一个无穷子级数来表示：∑∞n=1 ank=σ100

13.一个正项级数，使任何正有理数都是它的有限个不同项之和101

14.通项趋于零而发散的交错级数102

15.一个发散级数∑∞n=1 an，其部分和序列有界且limn→∞an=0103

16.根检法失效的级数103

17.比检法失效的级数103

18. limn→∞n？an存在而limn→∞ an+1/an不存在的正项级数∑∞n=1an104

19.两个收敛级数，其Cauchy乘积级数发散104

20.两个条件收敛级数，其Cauchy乘积级数绝对收敛105

21.两个发散级数，其Cauchy乘积级数绝对收敛105

22.一个发散级数∑∞n=1 an，使当p=1， 2， 3，…时，limn→∞（an+1+ an+2 + …+an+p）=0106

23.具有发散重排的收敛级数106

24.存在一个发散级数，用重排不可能加快其发散程度107

25.存在一个发散级数，用重排可以任意减慢其发散程度108

26.一个实数序列｛an｝，使级数∑∞n=1aln 当l=5时发散，而当l不等于5的任何奇正数时收敛109

27.一个收敛级数∑∞n=1an，使形如ak+ak+l+ak+2l+ak+3l+…的子级数（下标成等差级数，k，l为正整数）都收敛，而∑∞n=1an并不绝对收敛109

28.一个收敛级数∑∞n=1 an，使形如ak+akl+akl2+…的子级数（下标成几何级数，k≤1， l≤2均为正整数）都收敛，而∑∞n=1an并不绝对收敛109

29.任意地划分奇正整数集为两个没有公共元素的子集D和C，一个实数序列｛an｝，使当l∈C时级数∑∞n=1aln收敛，而当l∈D时∑∞n=1aln发散110

30.对于任一条件收敛级数∑∞n=1an和任一实数x，存在序列｛εn｝，其中|εn|=1.n=1，2，…，能使∑∞n=1 εnan = x110

31.非绝对收敛级数，适当地引进括号后变成绝对收敛级数110

32.收敛而不绝对收敛的无穷乘积111

33.一个发散级数∑∞n=1 an，使无穷乘积∏∞n=1（1+an）收敛111

34.级数∑∞n=2an和∑∞n=2a2n都发散，而无穷乘积∏∞n=1（1+an）却收敛112

35. [1， +∞）上的正值连续函数f，使∫+∞1 f（x）dx收敛而∑∞n= 1 f（n）发散113

36. [1， +∞）上的正值连续函数f，使∫+∞1 f（x）dx发散而∑n ∞=1 f（n）收敛113

37.给定[0， 1）上满足条件limx→1 f （x） = +∞的正值连续函数f，可构造具有非负系数的幂级数P，适合P（x）＜f （x）且limx→1 P（x）=+∞114

38. [0，1）上的一个适合条件f（0）＞0且∫1 0 f （x）dx=+∞的递增连续函数f ，使对任何具有非负系数的幂级数P，若P（x） ≤ f （x），则∫ 1 0 P（x）dx ＜ +∞114

39一个函数，它的Maclaurin级数处处收敛，但仅在一点与这个函数相合115

40.一个函数，它的Maclaurin级数仅在一点收敛116

第六章 一致收敛119

0.引言119

1.在各个Ek （k = 1， 2，…）上一致收敛，而在∪∞k1Ek上不一致收敛的函数序列120

2.一个在紧集上一致有界的连续函数序列，而不存在逐点收敛的子列120

3.一个一致有界且处处收敛的连续函数序列，它没有一致收敛的子列121

4.一个有界函数序列，它处处收敛于一个无界函数121

5.一个不一致有界的函数序列，它处处收敛于一个有界函数122

6.一个连续函数序列的非一致极限，它在一个稠密集上无处连续122

7.一个连续函数序列，它的非一致极限也是一个连续函数123

8.一个递减的连续函数序列，它处处收敛于某个连续函数，但并不一致收敛124

9.一个无处连续的函数序列，它一致收敛于一个处处连续的函数124

10.收敛而无处一致收敛的连续函数序列124

11.一个各项间断的函数项级数收敛于一个连续函数，但无处一致收敛125

12.一个正整数序列a1 ＜ a2＜…及紧集C，使对任意x ∈ C， sin anx → 0（n→∞），而｛sin anx｝在C上并不一致收敛126

13.给定[0， +∞）上的实值函数f，适合f （0）=0， f （1）≠ 0， limn→∞f （n）=0，可构造正整数序列｛an｝及紧集C，使｛f（anx）｝在C上收敛而非一致收敛127

14.两个一致收敛的函数序列，其乘积序列不一致收敛127

15.一个连续函数序列｛fn｝，它在[0，1]上一致收敛于f，然而，fn的弧长的极限不等于f的弧长127

16.通项一致趋于零但不一致收敛的函数项级数127

17.通用的连续函数序列128

18.一个一致收敛的函数项级数，具有不一致收敛的重排129

19.一个一致收敛的函数项级数，却无处绝对收敛129

20.级数∑∞n=1 un （x）绝对并一致收敛，而∑∞n=1 |un（x）|并不一致收敛130

21.一个绝对并一致收敛的函数项级数，它无任何正项数值优级数131

22.一个一致收敛的可微函数序列，其导函数序列的极限不等于极限函数的导数132

23.一个一致收敛的无穷可微函数序列，其导函数序列无处收敛133

24.一个非一致收敛的可微函数序列，其导函数序列的极限等于极限函数的导数133

25. [0， +∞）上的一个一致收敛于零的广义（R）可积函数序列｛fn｝，而使数列｛∫+∞0 fn（x）dx｝发散133

26. [1， +∞）上的一个一致收敛的广义（R）可积函数序列，其极限函数并不广义（R）可积134

第七章 点集的测度135

0.引言135

1.一个渐缩的可测集序列｛En｝，使m（limn→∞ En） ≠ limn→∞ mEn137

2.一个含于有限区间中的可测集序列｛En｝，使limn→∞ mEn存在，但m（lim n→∞En）≠ m（limn→∞ En）137

3.一个可测集序列｛En｝，使m（limn→∞En）＜limn→∞ mEn138

4.测度为零的不可数集138

5.任给实数a （0＜a＜1），在[0， 1]中可构造一个测度为a的完备疏集139

6.直线上的一个稠密开集，它的余集的测度为无穷大139

7.一个开集，它的测度不等于它的闭包的测度139

8.一个可数的疏集，其闭包具有正测度140

9.使得每个实数都是凝聚点的零测度集140

10. [0，1]中测度等于1的第一纲集140

11. [0，1]中测度等于零的第二纲集140

12. [0，1]内一个两两不相交的完备疏集序列，其并集的测度为1140

13. [0，1]中测度为零的不可数的稠密集141

14. [0，1]中的一个可测集E，使对任一非空开区间I ？ [0，1]，恒有m（I ∩ E）＞0， m（I ∩ Ec）＞0141

15.不可测集143

16.一个两两不相交的集序列｛An｝，使m*（∪n=1 An）＜∑∞n=1 m* An145

17.一族可测集，其并集不可测145

18.一族可测集，其交集不可测146

19.一个有界的零测度集E，使E+E为一不可测集146

20. R1的一个子集A，使A和Ac的每一可测子集其测度均为零147

21.对每一有理数a，使｛x：f（x） = a｝均为不可测集的函数f148

22. [0，1]内的一个不可测集M，使m*M=0， m*M=1149

23.导数几乎处处为零的单调的连续函数150

24.函数f和g具有相同的导数，而f和g并不相差一个常数151

25.导数几乎处处为零的严格单调的连续函数152

26.闭区间上具有原函数的有界函数而不（R）可积155

27.（R）可积函数f和连续函数g，构成不（R）可积的复合函数f o g156

28.一个收敛的单调一致有界的连续函数序列，其极限函数不（R）可积157

29. [0，1]上的一个可微函数g，使g”（0）存在，而对任何b＞0， g’在[0， b]上并不（R）可积158

30.一个同胚映射，它把一个测度为零的集映成测度大于零的集158

31. [0，1]上的一个严格递增的连续函数？和集A ？ [0， 1]，使mA=0而m？（A）=1160

32.对任一完备疏集E ？ [0， 1]，一个从[0， 1]到[0，1]上的同胚映射f，使mf （E）=0162

33.可测的非Borel集163

34.一个同胚映射，它把一个可测集映成不可测集163

35.一个Borel测度为零的集，其中含有非Borel可测集163

36.两个Borel可测集B1， B2，使得B1-B2=｛x-y：x ∈ B1，y ∈ B2｝不是Borel可测的164

37.两个同胚的实数集，其中一个是第一纲集而另一个是第二纲集164

38.两个同胚的实数集，其中一个是稠密集而另一个是疏集165

39.定义于R1上的一个几乎处处为零的函数，它在每个非空开区间上的值域都是R1165

40. R1上的一个函数，它的图形在平面内稠密165

第八章 可测函数167

0.引言167

1.一个收敛的递增的简单函数序列，其极限函数不是简单函数169

2.一个非零函数，它与任何函数之积恒为可测函数169

3.一个不可测函数，其绝对值是可测函数170

4.一族可测函数，其上确界函数并不可测170

5. R1上的一个可测函数f，使supt∈R1 |f （x + t）-f（x-t）|不可测170

6.一个在任何（L）正测度集上均非（L）可测的函数，它在任何非空区间上取每个实数作为函数值可达？次171

7.函数f，使对任意实数a， E[x：f （x）=a]恒为可测集，而f在E上并不可测172

8.可测函数f和连续函数g，构成不可测的复合函数f og172

9.可测函数f和递增函数g，构成不可测的复合函数f o g172

10. [a， b]上的一个一致有界的不可测函数序列｛fn｝，使对任一不可数集A ？[a， b]， ｛fn｝中不存在在A上收敛的子列173

11.任给趋于零的数列｛αn｝，可构造一个有界可测函数f，使｛f （x-αn）｝并不几乎处处收敛于f （x）173

12. EгopoB定理的结论不能加强为除掉一个测度为零的集外，｛ fn｝一致收敛于f174

13. R1上的一个函数序列，使EгopoB定理不成立175

14.一个不可测函数序列，使EгopoB定理不成立175

15.一族函数｛ft （x）｝（t ≥ 2），对每一固定的t，它是x的可测函数，而对每一固定的x，它是t的可测函数，且limt→+∞ft（x） = 0，但｛ft （x）｝并不近一致收敛176

16. [0，1]上的一个连续函数，它在[0， 1]上几乎处处取有理数值，而在任何非空子区间上均非常值函数177

17.一个无处连续的可测函数，不论怎样改变此函数在任何测度为零的集上的值，它仍然是无处连续的179

18.不能把Луэин定理中的连续函数改为多项式179

19. [0， +∞）上的函数序列｛fn｝和｛gn｝，使｛gn｝和｛gn｝在[0，+∞）上分别依测度收敛于f和g，而｛fngn｝在[0， +∞）上并不依测度收敛于fg180

20.一个依测度收敛的可测函数序列｛？n｝和连续函数F，而构成并不依测度收敛的复合函数序列｛Fo？n｝180

21.一个无处连续的（L）可测函数，它不是（B）可测的181

22.两个函数仅在一个（B）测度为零的集上彼此相异，其中一个（B）可测而另一个非（B）可测181

23.不与第一类函数中的任何一个函数对等的可测函数182

24.属于不同类的两个函数，而有相同的间断点184

25.一个Fσ型集的特征函数，它不是第一类函数184

26.一个（R）可积函数，它不是第一类的函数184

27.不与（R）可积函数对等的有界可测函数185

第九章 Lebesgue积分187

0.引言187

1. [0， 1]上的一个（L）可积函数f，使∑∞n=1 nmE[x：f （x）≥n]=+∞190

2. [0， +∞）上的一个非负连续的（L）可积函数f，使limx→+∞ f （x）=0不成立191

3.可测集E上的非负有界可测函数序列｛fn｝，使limn→∞∫E fn（x）dx=0，而｛fn｝却无处收敛于零191

4. [0，1]上的一个实值连续函数序列｛fn ｝，使f1 （x）≥f2 （x）≥…≥0，且若有连续函数f适合fn（x）≥f （x）≥0 （n=1，2，…），则f？0.但limn→∞∫0 fn （x） dx ≠ 0192

5.一个在E上并不依测度收敛于零的函数序列｛fn｝，使对每一可测集e？E，都有limn→∞∫e fn （x）dx=0193

6.任给趋于零的数列｛an｝，可构造一个非负可测函数序列｛fn｝，使∑∞n=1 an ∫Efn （x） dx收敛，而｛fn｝在E上无处收敛于零194

7.一个（L）可积函数f和有限个区间的并集I（n），使limn→∞ ∫I（n） f （x） cos nxdx≠0195

8. （L）可积而不（R）可积的有界函数196

9.广义（R）可积而不（L）可积的函数196

10. （L）可积而不广义（R）可积的非负函数197

11.任给非几乎处处有界函数f，可构造一个（L）可积函数g，使fg不（L）可积197

12. [0，1]上的一个有界可测函数f，使对任何（R）可积函数g，都有∫ [0，1] |f （x） -g（x） |dx＞0198

13.在每个子集上都（L）可积，但在并集上并不（L）可积的函数198

14. R1上的一个非负（L）可测函数f，使对任何区间（a， b） （a＜b）及r∈R1，恒有m｛（a，b） ∩ ｛x：f （x）≥r｝｝＞0，但∫R 1f（x）dx ≠ +∞199

15.函数f，处处适合0≤f（x）＜+∞，但在每个非空开区间（a， b）上，∫ba f（x）dx=+∞199

16.任给f ∈ L [a， b]，可构造集A ？ [a， b]，使mA=b-a，且对任一r∈R1和任一x∈A，都有limh→0 1/h∫x+h x | f （t）-r|dt=|f （x）-r|200

17. [0， +∞）上的一个非负的上半连续函数f，使∫+∞ 0 f （x）dx=+∞，而对每一h＞0，有∑∞ n=1 f （nh）＜+∞201

18. R1上的一个一致有界的（L）可测函数序列｛fn｝，使对任何区间[a， b]， ｛fn ｝中都不存在在[a， b]上几乎处处收敛的子列201

19. Lebesgue有界收敛定理中mE＜+∞的条件不可去掉203

20. Lebesgue有界收敛定理中函数序列一致有界的条件不可去掉203

21. Lebesgue控制收敛定理中控制函数的可积性的条件不可去掉203

22. Vitali定理中mE＜+∞的条件不可去掉204

23.使Fatou引理中等号不成立的函数序列204

24.一个变号的收敛可测函数序列，使Fatou引理的结论不成立205

25. Levi定理中函数序列非负性的条件不可去掉205

26.两个平方（L）可积的函数，它们的和不是平方（L）可积的206

27.一个非负函数f，使f ∈ L21， +∞），但∫+∞1 f（x）/？x dx = +∞206

28.不属于任何Lp （0， 1） （p ＞ 0）的非负可测函数207

29.属于Lp-δ（0， a）而不属于Lp （0， a）的非负可测函数，其中0＜δ＜p207

30.属于L2 （0， +∞）而不属于任何Lp （0， +∞） （p ＞ 0， p≠2）的非负可测函数207

31.函数f和g，使｛∫E| f （x）+g（x）|pdx｝1/p＞｛∫E|f（x）|pdx｝1/p +｛∫E|g（x）|pdx｝1/p，这里，0＜p＜1208

32.连续单调函数g和连续函数f，适合∫01 f （x）dg （x） ≠ ∫0 f（x）g’（x）dx208

33.函数f与g，使f关于g是Lebesgue-Stieltjes可积而不是Riemann-Stieltjes可积208

34.使limp→+∞|| f|| Lp（E）=||f||L∞（E）不成立的函数f208

35. L∞ （R1）中的一个函数f，使不存在R1上的连续函数序列｛fn｝，适合limn→∞||f-fn||L∞（R1） = 0209

36. R1上的一个非负（L）可积函数，使对任何非空区间[a， b]，它在[a， b]上都不是本性有界的209

37.一个（L）可积函数，它的某个近似连续点不是Lebesgue点210

38.存在函数f，使f（x0）是其不定积分在x0的导数，但f在点x0并不近似连续211

第十章 不同意义收敛的函数序列213

0.引言213

1.几乎处处收敛与测度收敛之间的关系214

2.近一致收敛与几乎处处收敛之间的关系216

3.一致收敛与平均收敛之间的关系216

4.几乎处处收敛与平均收敛互不蕴涵217

5.几乎处处收敛与弱收敛互不蕴涵218

6.测度收敛与弱收敛互不蕴涵218

7.近一致收敛与平均收敛互不蕴涵219

8.测度收敛而非近一致收敛的函数序列219

9.弱收敛而非平均收敛的函数序列219

10.r次幂平均收敛而不p（1≤r＜p）次幂平均收敛的函数序列220

11. [0， 1]上的一个函数序列｛fn｝，适合||fn ||Lr[0，1]≤M （n=1， 2， …）， ｛fn｝在[0， 1]上处处收敛于f，但limn→∞||fn-f ||Lr[0 1] ≠ 0220

12.一个在E上几乎处处收敛于f的函数序列｛fn｝ ？ L（E），使supn ||fn||=K＜+∞，而｛fn｝并不弱收敛于f221

13. R1上的一个（L）可积的连续函数序列｛fn｝，适合（i） lim|x|→∞fn（x）=0，（ii） suPn ||fn||L（R1）＜+∞， （iii） ｛fn｝在R1上一致收敛于f，但｛fn｝中不存在子列｛fnk｝使limk→∞ || fnk-f||L（R1）=0222

第十一章 有界变差函数与绝对连续函数223

0.引言223

1.一个非有界变差函数，其绝对值是有界变差函数224

2.全变差为无穷大的可微函数225

3.不满足任何阶Holder条件的有界变差函数225

4.满足α（0＜α＜1）阶Holder条件而不是有界变差的函数226

5.不满足任何α（α＞0）阶Holder条件且不是有界变差的连续函数228

6.在[0，1]上连续而在[0，1]的任一非空子区间上皆非有界变差的函数229

7.在[0， 1]上有界变差而在[0，1]的任一非空子区间上都不连续的函数230

8.两个有界变差函数，构成非有界变差的复合函数230

9.两个皆非有界变差的函数，构成有界变差的复合函数230

10.一个有界变差函数序列，其上确界函数并不有界变差231

11.一个一致收敛的有界变差函数序列，其极限函数并不有界变差231

12.一个不是有界变差的函数序列，却一致收敛于一个有界变差函数232

13.一个有界变差函数序列，它的任何子列都有不收敛的点232

14.一个有界变差函数序列，其全变差并不一致有界，但有收敛的子列233

15.任给不连续函数f，可构造一个有界变差函数g，使f关于g的积分∫a f （x）dg（x）不存在233

16.任给全变差为无穷大的函数g，可构造一个连续函数f，使f关于g的积分∫b a f（x）dg（x）不存在234

17.一个一致收敛的有界变差的函数项级数，而不能几乎处处逐项微分235

18.一个可微的有界变差函数f，使V （x）=∫x 0 |f’（t）|dt不可微236

19. [0， 1]上的一个有界变差函数f，使V1 0 （f） ∫+∞-∞K（y）dy，其中K（y）代表适合f （x）=y的x的个数237

20.非常值的局部循环的无处单调的有界变差函数237

21. [0，2π)上的一个一致收敛于某个有界变差函数f的有界变差函数序列｛fn ｝，使limn→∞V2 π0（fn） ≠ V2π0（f）238

22. [0，1]上的一个可微函数f，使Z=｛x：f’（x）=0｝及Zc均在[0，1]中稠密，但f’在[0，1]上并不（L）可积238

23. [0，1]上的一个可微函数f，使f’有界且Z=｛x：f’ （x）=0｝及Zc在[0，1]内稠密，Z≠｛x：f’在x连续｝240

24.一个绝对连续函数f，使|f|p （0＜p＜1）不是绝对连续函数240

25.一致连续而不绝对连续的函数241

26.两个绝对连续函数，构成不绝对连续的复合函数241

27.两个皆非绝对连续的函数，而构成绝对连续的复合函数242

28.不满足某些Holder条件的绝对连续函数242

29.无处单调的绝对连续函数242

30.一个可微函数，其导数在任何非空区间上（L）可积而不（R）可积243

31.一个具有性质（N）的函数，它不是绝对连续的函数243

32.一个一致收敛的绝对连续函数序列，其极限函数并不绝对连续244

33.一个不是绝对连续的函数序列，却一致收敛于一个绝对连续的函数245

34.任给[0，1]中测度为零的集E，可构造[0，1]上的一个不减的绝对连续函数f，使对每一x∈E，都有f’（x）=+∞245

35.一个严格递增的连续函数，它并不绝对连续246

36.一个在[0， 1]上严格递增的连续函数，它在任何非空区间[α， β]？[0，1]上都不是绝对连续的246

37.一个严格递增的绝对连续函数，它把某个测度大于零的集映成测度等于零的集246

38.一个严格递增的绝对连续函数，其反函数并不绝对连续248

第十二章 Fourier级数249

0.引言249

1. Dini判敛法和Jordan判敛法互不蕴涵252

2. Young判敛法与Dini判敛法互不蕴涵253

3. Young判敛法与de la Vallee Poussin判敛法互不蕴涵253

4. Jordan判敛法失效但能用de la Vallee Poussin判敛法的Fourier级数254

5. Jordan判敛法失效但能用Young判敛法的Fourier级数255

6. Dini判敛法失效但能用de la Vallee Poussin判敛法的Fourier级数255

7.一个处处收敛的三角级数，其和函数并不（L）可积255

8.一个收敛的三角级数，它不是某个（L）可积函数的Fourier级数255

9.一个三角级数，它不是Fourier-Lebesgue级数，但却是Fourier-Stieltjes级数255

10.任给趋于零的正数序列｛εn｝，可构造连续函数f，使f的Fourier系数有以下关系：|an |≥εn或|bn|≥εn对无穷多个n成立256

11.一个（R）可积函数，其Fourier-Riemann系数并不趋向于零257

12.任给数列｛λn｝， limn→∞λn=+∞， λn=o（n），可构造（R）可积函数f，它的Fourier-Riemann系数bn＞λn对无穷多个n成立257

13.一个连续函数f，使对任何ε＞0，级数∑№2（|an|2-ε+|bn|2-ε）发散，其中an， bn是f的Fourier系数258

14. Hα[0， 2π] （0＜α≤1）中的一个函数f，使级数∑№2（|an|β+|bn|β）发散，其中β=2/（2α + 1）259

15. H 1/2 [0，＜α＜1]中的一个函数，其Fourier级数并不绝对收敛260

16.一个三角级数，它在某个可数集上收敛，但其系数并不趋向于零260

17.系数趋于零而又处处发散的三角级数261

18. Hα[0，2π] （0＜α＜1）中的一个函数，其Fourier系数cn ≠ o（n-α）262

19.一个连续的有界变差函数，其Fourier系数不等于o（1/n）262

20.一个余弦级数，其系数单调递减且趋向于零，但其和函数并不（L）可积264

21.一个有界变差函数，其Fourier级数并不绝对收敛265

22.一个（L）可积函数f，使级数∑№1an/n发散，其中an=1/π∫π-π f （x） cos nxdx265

23.一个以2π为周期的连续函数，其Fourier级数仅仅在x=0 （mod 2π）这些点发散，而在x≠0（mod2π）各点收敛266

24. L [0， 2π]中的一个函数f，其Fourier级数在[0，2π]上几乎处处无界发散267

25.一个Fourier级数，其共轭级数不是Fourier级数271

26.一个（L）可积函数，其共轭函数在任何非空闭区间上都不（L）可积273

27. L[0， 2π]中的一个函数，其Fourier级数在[0，2π]上几乎处处有界发散273

28.L（ln+ ln+L）1-ε中的一个函数，其Fourier级数几乎处处发散278

29. [0，2π]上的一个（L）可积函数f，它的共轭函数f也是（L）可积的，并且f与f的Fourier级数在[0，2π]上都是几乎处处发散的278

30.任给Fσ型集E？[0，2π]，可构造函数f∈L[0， 2π]，它的Fourier级数在E上收敛，而在[0，2π] E上为无界发散283

第十三章 平面点集285

0.引言285

1.序列｛xn｝与｛yn｝均有聚点，而｛（xn，yn）｝没有聚点287

2.一个可数集E，使E’具有连续统的势，且E∩E’=？287

3.具有不可数闭包的孤立点集287

4.距离为零的两个不相交的闭集287

5.平面上的一个开集，它不能表成有限个或可数个两两不相交的开区间的并集287

6.单位正方形内的一个可测子集，它不能表成可数个“矩形”的并集289

7.一个平面点集E，一方面E可表成两个不相交的集A与B的并，另一方面，E分别与A及B可合289

8.平面完备疏集※Sierpinski地毯、Sierpinski墓垛和Cantor栉289

9.任给实数a（0＜a＜1），可在[0， 1] × [0，1]中构造一个完备疏集E，满足mE=a292

10. Sierpinski连续点集293

11.平面上的一个（L）可测集，它在坐标轴上的射影都不是（L）可测的294

12.单位正方形[0， 1] × [0，1]内的一个子集，它在[0，1] × [0，1]内稠密，但在任一平行于坐标轴的直线上都是无处稠密的294

13.单位正方形I=[0， 1] × [0， 1]的一个子集A在I内稠密，而且与I相交的每一条铅直或水平直线恰好交A于一点294

14.平面内的一个稠密集，它不含有三个共线的点295

15.与任一直线至多有两个公共点的不可测平面集295

16.区间[0， 1]到正方形[0， 1] × [0，1]上的一个映射297

17.充实空间的连续曲线297

18.充实空间的连续曲线的简单例题299

19. R3内的一条简单弧，它在平面上的投影成为一个三角形303

20. [0，1]到[0，1]上的一个连续映射，每个值取的次数不可数305

21. Cantor曲线、Jordan曲线和平面上连接区域的边界，这三个概念两两相异305

22.不可求长的简单弧307

23.不可求长并在每一点都有切线的简单弧307

24.每两个不同点之间的弧段长度无限的简单弧307

25. [0，1]上的一个递增的连续函数f（x），它所对应的曲线之长不能用（L）积分∫01？1+[f’（x）]2dx来表示307

26.一个有界变差函数，使limδ→0s（△）=s不成立309

27.一个不连续函数，而有limδ→0 s（△）=s310

28.单位正方形内的一条简单弧，其平面测度可以任意接近1310

29.有共同边界的四个两两不相交的平面区域311

30.与自己的闭包的内部不同的平面区域311

31.与自己的闭包的内部相等的非Jordan区域311

32.边界的测度为正数的有界平面区域312

33.图形为不可测平面集的单实变实值函数312

34.没有面积的有界平面集312

35.没有面积的紧平面集312

36.没有面积的有界平面区域313

37.没有面积的有界平面Jordan区域313

38.一条简单闭曲线，它的平面测度比它围成的有界区域的平面测度还要大313

39.一个曲面，它的内接多面体的面积不收敛于它的面积313

第十四章 二元函数315

0.引言315

1.两个累次极限都存在而不相等的函数317

2.两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在的函数317

3.二重极限存在而两个累次极限都不存在的函数318

4.二重极限和一个累次极限存在，而另一个累次极限不存在的函数319

5.仅有一个累次极限存在的函数319

6.在原点没有极限，但沿着任一直线逼近原点时极限值都为零的函数319

7.分别对各个变量连续的间断函数320

8.函数f （x，y），它沿着从点（x0， y0）引出的任何直线在（x0， y0）都是连续的，但f（x，y）在（x0， y0）并不连续320

9.[0，1] × [0， 1]上的一个无处连续函数f （x， y），使对每一y ∈ [0， 1]， f（x，y）是x的连续函数321

10.具有各阶偏导数的不连续函数321

11.二阶混合偏导数相等而不连续的函数322

12.函数f，使fx （0， y）是y的连续函数，而fy （x， 0）不是x的连续函数322

13.两个偏导数在某点连续，而本身在该点的任何邻域内不连续的函数323

14.偏导数存在，但沿任何其他方向的导数都不存在的函数324

15.函数f，使fy x（x，y）存在而fx（x，y）不存在324

16.仅在一点连续并可微的函数324

17.可微而不连续可微的函数324

18.函数f，它在某点的邻域内连续且有有界的偏导数，但f在该点仍不能微分325

19.偏导数均不连续的可微函数326

20.二阶混合偏导数不相等的可微函数327

21.在某点沿任何方向可微，而在该点并不连续的函数327

22.有关的一切偏导数都存在，但复合函数求导公式不成立的函数328

23.在平面区域D内fy（x，y）？0，但是f在D内并非与y无关的连续可微函数328

24.函数F（x， y），尽管Fy （x0， y0）=0，但在（x0，y0）的某个邻域内，由方程F（x， y） = 0能唯一确定y为x的函数y= f （x），并且y0 = f（x0）329

25.函数f，使maxy minx f（x，y）＜minx maxy f （x， y）329

26.函数f，使fx（x0，y0）=0， fy（x0，y0）=0，但（x0，y0）并非f（x，y）的极值点330

27.一个可微函数，它在定义域内只有一个驻点，而且这驻点是局部极大（小）点，但它不是最大（小）点330

28.函数f，它在某点的偏导数不存在，但能在该点取得极值331

29.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数332

30.函数f，它在原点无局部极值，但对任一过原点的直线，f沿此直线上，原点为其取得局部极小值的点332

31.函数f （x，y），对每一x，它是y的Borel可测函数，对每一y，它是x的Borel可测函数，但f （x，y)并不（L）可测333

第十五章 二重积分335

0.引言335

1.两个（R）累次积分存在而不相等的函数336

2.两个（R）累次积分存在且相等，但（R）二重积分不存在的函数337

3. （R）二重积分存在而两个（R）累次积分都不存在的函数338

4. （R）二重积分不存在，而只有一个（R）累次积分存在的函数340

5. （R）二重积分存在，但只有一个（R）累次积分存在的函数341

6.一个发散的广义（R）二重积分，它的两个累次积分都存在342

7.广义（R）二重积分∫1 0 ∫1 0f（x，y）dxdy存在，且对每一x∈[0，1]，积分∫1 0 f（x，y）dy存在，但累次积分∫0 dx ∫0 f （x， y） dy不存在的函数f344

8.函数f （x）与g（y），它们分别在0≤x＜+∞与0≤y＜+∞上广义（R）可积，但f（x）g（y）在[0， +∞） × [0， +∞）上并不广义（R）可积346

9. [0， 1] × [0， 1]上的一个（L）可积函数f（x，y），而并不对每一x ∈ [0， 1]，使把f （x， y）看作y的函数时，它在[0，1]上是（L）可积的346

10. [0， 1] × [0，1]上的一个不可测函数，它的两个（L）累次积分均存在且相等347

11. [0， 1] × [0， 1]上一不可测函数，它的一个（L）累次积分存在而另一个不存在348

12. [0， 1] × [0， 1]上的一个不可测函数，它的两个（L）累次积分存在而不相等349

13.一个可测函数，它的两个（L）累次积分一个存在而另一个不存在349

14.一个可测函数，它的两个（L）累次积分存在而不相等351

15.一个可测函数，它的两个（L）累次积分存在且相等，但它并不（L）可积351

16. [0， 1] × [0， 1]上的一个函数f，使对任意可测集E ？ [0， 1]， F ？ [0， 1]，恒有∫E dx ∫F f（x，y）dy=∫F dy∫ E f（x，y）dx，但f在[0，1] × [0， 1]上仍不（L）可积353

17.一个间断函数f，使∫1 0 f（x，y）dx是连续函数357

18.函数f，使∫1 0 f（x，y）dx是间断函数358

19.一个连续函数f，使∫+ ∞ 0 f（x，y）dx是间断函数358

20.一个一致收敛的参变量积分，不能以与参数无关的收敛积分为优函数358

参考文献361

名词索引371