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第一篇 高等数学1

第一章 函数 极限 连续1

考点与要求1

1 函数1

内容精讲1

一、定义1

二、重要性质、定理、公式3

例题分析4

一、求分段函数的复合函数4

二、由函数的奇偶性与周期性构造函数5

三、求反函数的表达式6

四、关于函数有界（无界）的讨论7

2 极限7

内容精讲7

一、定义7

二、重要性质、定理、公式9

三、计算极限的一些有关方法10

例题分析12

一、求函数的极限12

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限17

三、含有｜x｜，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限20

四、无穷小的比较20

五、数列的极限21

六、极限运算定理的正确运用24

3 函数的连续与间断27

内容精讲27

一、定义27

二、重要性质、定理、公式28

例题分析28

一、讨论函数的连续与间断28

二、在连续条件下求参数29

三、连续函数的零点问题30

第二章 一元函数微分学31

考点与要求31

1 导数与微分，导数的计算31

内容精讲31

一、定义31

二、重要性质、定理、公式32

例题分析35

一、按定义求一点处的导数35

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x＝x0处的导数36

三、绝对值函数的导数41

四、由极限式表示的函数的可导性42

五、导数与微分、增量的关系43

六、求导数的计算题43

2 导数的应用45

内容精讲45

一、定义45

二、重要性质、定理、公式与方法46

例题分析47

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论47

二、渐近线50

三、曲率与曲率圆51

四、最大值、最小值问题52

3 中值定理、不等式与零点问题53

内容精讲53

一、重要定理53

二、重要方法54

例题分析56

一、不等式的证明56

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题60

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点62

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f〃（x））的零点63

五、“双中值”问题64

六、零点的个数问题65

七、证明存在某ξ满足某不等式66

八、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系67

第三章 一元函数积分学69

考点与要求69

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论69

内容精讲69

一、定义69

二、重要性质、定理、公式70

例题分析71

一、分段函数的不定积分与定积分71

二、定积分与原函数的存在性73

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分74

2 不定积分与定积分的计算77

内容精讲77

一、基本积分公式77

二、基本积分方法78

例题分析80

一、简单有理分式的积分80

二、三角函数的有理分式的积分81

三、简单无理式的积分81

四、两种不同类型的函数相乘的积分83

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分84

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分85

七、含参变量带绝对值号的定积分87

八、积分计算杂例88

3 反常积分及其计算90

内容精讲90

一、定义90

二、重要性质、定理、公式91

例题分析92

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性92

二、关于奇、偶函数的反常积分94

4 定积分的应用95

内容精讲95

一、基本方法95

二、重要几何公式与物理应用96

例题分析97

一、几何应用97

二、物理应用99

5 定积分的证明题103

内容精讲103

例题分析103

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等103

二、由积分定义的函数求极限104

三、积分不等式的证明106

四、零点问题111

第四章 多元函数微积分学114

考点与要求114

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分114

内容精讲114

一、多元函数114

二、二元函数的极限与连续114

三、二元函数的偏导数与全微分115

例题分析117

一、讨论二重极限117

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性119

三、讨论二元函数的可微性120

2 多元函数的微分法124

内容精讲124

一、复合函数的偏导数与全微分124

二、隐函数的偏导数与全微分126

例题分析126

一、求复合函数的偏导数与全微分126

二、求隐函数的偏导数与全微分134

3 极值与最值138

内容精讲138

一、无条件极值138

二、条件极值139

例题分析139

一、无条件极值问题139

二、条件极值（最值）问题142

三、多元函数的最大（小）值问题143

4 二重积分147

内容精讲147

一、二重积分的定义及几何意义147

二、二重积分的性质147

三、二重积分的计算147

例题分析150

一、计算二重积分150

二、累次积分交换积分次序及计算159

三、与二重积分有关的综合题162

四、与二重积分有关的积分不等式问题164

第五章 常微分方程168

考点与要求168

1 常微分方程168

考点与要求168

一、微分方程的基本概念168

二、常见的几类一阶方程及解法168

三、可降阶的高阶微分方程169

四、高阶线性方程169

例题分析171

一、微分方程求解171

二、微分方程的综合题177

三、微分方程的应用179

第二篇 线性代数183

第一章 行列式183

考点与要求183

内容精讲183

例题分析186

一、数字型行列式的计算186

二、抽象型行列式的计算192

三、行列式｜A｜是否为零的判定194

四、关于代数余子式求和194

第二章 矩阵197

考点与要求197

内容精讲197

1 矩阵的概念及运算197

一、矩阵的概念197

二、矩阵的运算198

三、矩阵的运算规则198

四、特殊矩阵199

2 可逆矩阵200

一、可逆矩阵的概念200

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件200

三、逆矩阵的运算性质200

四、求逆矩阵的方法200

3 初等变换、初等矩阵201

一、定义201

二、初等矩阵与初等变换的性质201

4 矩阵的秩202

一、矩阵秩的概念202

二、矩阵秩的公式202

5 分块矩阵203

一、分块矩阵的概念203

二、分块矩阵的运算203

例题分析204

一、矩阵的概念及运算204

二、特殊方阵的幂208

三、伴随矩阵的相关问题210

四、可逆矩阵的相关问题212

五、初等变换、初等矩阵216

六、矩阵秩的计算217

第三章 向量222

考点与要求222

内容精讲222

1 n维向量的概念与运算222

2 线性表出、线性相关223

3 极大线性无关组、秩224

4 Schmidt正交化、正交矩阵224

例题分析225

一、线性相关的判别225

二、向量的线性表示226

三、线性相关与线性无关的证明228

四、秩与极大线性无关组231

五、正交化、正交矩阵233

第四章 线性方程组235

考点与要求235

内容精讲235

1 克拉默法则235

2 齐次线性方程组235

3 非齐次线性方程组237

例题分析238

一、线性方程组的基本概念题238

二、线性方程组的求解241

三、基础解系247

四、AX＝0的系数行向量和解向量的关系，由AX＝0的基础解系反求A249

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系250

六、两个方程组的公共解251

七、同解方程组252

八、线性方程组的有关杂题254

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵257

考点与要求257

内容精讲257

1 特征值、特征向量257

一、定义257

二、特征值的性质257

三、求特征值、特征向量的方法257

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化258

一、定义258

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件258

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件259

3 实对称矩阵的相似对角化259

一、定义259

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化259

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤259

例题分析260

一、特征值，特征向量的求法260

二、两个矩阵有相同的特征值的证明264

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法265

四、矩阵是否相似于对角阵266

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数269

六、由特征值、特征向量反求A269

七、矩阵相似及相似标准形270

八、相似对角阵的应用274

第六章 二次型279

考点与要求279

内容精讲279

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵279

一、二次型概念279

二、二次型的矩阵表示279

2 化二次型为标准形、规范形合同二次型280

一、定义280

3 正定二次型、正定矩阵281

一、定义281

例题分析282

一、二次型的矩阵表示282

二、化二次型为标准形、规范形283

三、合同矩阵、合同二次型289

四、正定性的判别292

五、正定二次型的证明296

六、综合题297