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第1章 线性代数和二次型1

1.1 线性方程和线性变换1

1.1.1 矢量1

1.1.2 正交矢量组、完备性3

1.1.3 线性变换、矩阵4

1.1.4 双线型、二次型和埃尔米特型9

1.1.5 正交变换和复正交变换12

1.2 含线性参数的线性变换14

1.3 二次型和埃尔米特型的主轴变换19

1.3.1 根据极大值原理作主轴变换19

1.3.2 本征值22

1.3.3 推广于埃尔米特型23

1.3.4 二次型的惰性定理23

1.3.5 二次型的预解式的表示24

1.3.6 与二次型相联属的线性方程组的解25

1.4 本征值的极小-极大性26

1.4.1 用极小-极大问题表征本征值26

1.4.2 应用、约束28

1.5 补充材料及问题29

1.5.1 线性独立性及格拉姆行列式29

1.5.2 行列式的阿达马不等式30

1.5.3 正则变换的广义处理31

1.5.4 无穷多个变数的变线型和二次型34

1.5.5 无穷小线性变换35

1.5.6 微扰36

1.5.7 约束38

1.5.8 矩阵或变线型的初等除数38

1.5.9 复正交矩阵的谱39

参考文献39

第2章 任意函数的级数展开41

2.1 正交函数组41

2.1.1 定义41

2.1.2 一组函数的正交化43

2.1.3 贝塞尔不等式、完备性关系、平均逼近43

2.1.4 无穷多个变数的正交变换和复正交变换46

2.1.5 在多个自变数及更一般的假定下上述结果的正确性47

2.1.6 多变数完备函数组的构造47

2.2 函数的聚点定理48

2.2.1 函数空间的收敛性48

2.3 独立性测度和维数51

2.3.1 独立性测度51

2.3.2 一函数序列的渐近维数52

2.4 魏尔斯特拉斯逼近定理、幂函数和三角函数的完备性54

2.4.1 魏尔斯特拉斯逼近定理54

2.4.2 推广到多元函数的情形56

2.4.3 函数及其微商同时用多项式逼近57

2.4.4 三角函数的完备性57

2.5 傅里叶级数58

2.5.1 基本定理的证明58

2.5.2 重傅里叶级数61

2.5.3 傅里叶系数的数量级62

2.5.4 基本区间长度的更改62

2.5.5 例子62

2.6 傅里叶积分64

2.6.1 基本定理64

2.6.2 把上节结果推广到多元函数的情形66

2.6.3 互逆公式67

2.7 傅里叶积分的例子68

2.8 勒让德多项式69

2.8.1 从幂函数1,x,x2，…的正交化作出勒让德多项式69

2.8.2 母函数71

2.8.3 勒让德多项式的其他性质72

2.9 其他正交组的例子73

2.9.1 导致勒让德多项式的问题的推广73

2.9.2 切比雪夫多项式74

2.9.3 雅可比多项式76

2.9.4 埃尔米特多项式77

2.9.5 拉盖尔多项式79

2.9.6 拉盖尔函数和埃尔米特函数的完备性81

2.10 补充材料和问题82

2.10.1 等周问题的赫尔维茨解82

2.10.2 互逆公式83

2.10.3 傅里叶积分和平均收敛性84

2.10.4 由傅里叶级数和积分所得的谱分解85

2.10.5 稠密函数组85

2.10.6 赫·明兹关于幂函数完备性的一个定理86

2.10.7 费耶求和定理86

2.10.8 梅林反演公式87

2.10.9 吉布斯现象89

2.10.10 关于格拉姆行列式的一个定理91

2.10.11 勒贝格积分的应用92

参考文献93

第3章 线性积分方程95

3.1 引论95

3.1.1 符号和基本概念95

3.1.2 以积分表示的函数96

3.1.3 退化核97

3.2 退化核的弗雷德霍姆定理97

3.3 对任意核的弗雷德霍姆定理100

3.4 对称核及其本征值103

3.4.1 对称核的本征值的存在性103

3.4.2 本征函数和本征值的全体106

3.4.3 本征值的极大-极小性质110

3.5 展开定理及其应用112

3.5.1 展开定理112

3.5.2 非齐次线性积分方程的解113

3.5.3 累次核的双线公式114

3.5.4 Mercer定理116

3.6 诺伊曼级数和预解核117

3.7 弗雷德霍姆公式119

3.8 积分方程理论的另一推导123

3.8.1 一个引理123

3.8.2 对称核的本征函数124

3.8.3 非对称核125

3.8.4 本征值和本征函数对核的连续依赖性126

3.9 本理论的推广126

3.10 补充材料和问题127

3.10.1 问题127

3.10.2 奇异积分方程128

3.10.3 依·施密特关于弗雷德霍姆定理的推导129

3.10.4 解对称积分方程的恩斯库格法129

3.10.5 决定本征函数的凯洛格法130

3.10.6 核的形式函数及其本征值130

3.10.7 没有本征函数的一个非对称核例子131

3.10.8 沃尔泰拉积分方程131

3.10.9 阿贝尔积分方程131

3.10.10 属于一非对称核的共轭正交组132

3.10.11 第一类积分方程132

3.10.12 无穷多变数法133

3.10.13 本征函数的极小性134

3.10.14 极性积分方程134

3.10.15 可对称化的核134

3.10.16 由函数方程决定预解核134

3.10.17 正（负）定核的连续性135

3.10.18 哈默斯坦定理135

参考文献135

第4章 变分法137

4.1 变分法的问题137

4.1.1 函数的极大和极小137

4.1.2 泛函139

4.1.3 变分法的典型问题140

4.1.4 变分法特有的困难143

4.2 直接解144

4.2.1 等周问题144

4.2.2 瑞利-里茨方法、极小化序列144

4.2.3 其他直接方法、有限差法、无穷多个变数法145

4.2.4 关于变分直接方法的一般讨论149

4.3 欧拉方程151

4.3.1 变分法中“最简单的问题”151

4.3.2 多个未知函数的问题153

4.3.3 高阶微商的出现155

4.3.4 多个自变数的情形156

4.3.5 欧拉微分式之恒等于零158

4.3.6 齐次形的欧拉方程160

4.3.7 条件的放宽、杜布瓦雷蒙和哈尔定理163

4.3.8 变分问题和函数方程167

4.4 欧拉微分方程的积分168

4.5 边界条件169

4.5.1 自由边界的自然边界条件170

4.5.2 几何问题、横交条件172

4.6 二级变分及勒让德条件174

4.7 带附加条件的变分问题176

4.7.1 等周问题176

4.7.2 有限附加条件178

4.7.3 微分方程作为附加条件180

4.8 欧拉方程的不变性181

4.8.1 欧拉式作为函数空间的梯度、欧拉式的不变性181

4.8.2 △u的变换、球坐标183

4.8.3 椭球坐标184

4.9 变分问题之变换为正则形和回转形188

4.9.1 在附加条件下通常极小问题的变换188

4.9.2 最简单的一些变分问题的回转变换190

4.9.3 变分问题向正则形的变换194

4.9.4 推广195

4.10 变分法和数学物理微分方程197

4.10.1 一般的讨论197

4.10.2 振动的弦和振动的杆199

4.10.3 膜与板200

4.11 互逆二次变分问题204

4.12 补充材料和练习209

4.12.1 一给定微分方程的变分问题209

4.12.2 等周问题的可逆性209

4.12.3 圆形光线209

4.12.4 代多问题209

4.12.5 空间问题的例209

4.12.6 示性曲线及其应用210

4.12.7 变动的区域211

4.12.8 诺特关于不变变分问题的定理、质点力学问题中的积分213

4.12.9 重积分的横交条件216

4.12.10 曲面上的欧拉微分式217

4.12.11 静电学中的汤姆生原理217

4.12.12 弹性体的平衡问题、卡斯泰尔诺沃原理218

4.12.13 翘曲的变分问题221

参考文献223

第5章 振动和本征值问题224

5.1 线性微分方程述引224

5.1.1 叠加原理224

5.1.2 齐次和非齐次问题、边界条件225

5.1.3 形式关系、伴随微分式、格林公式226

5.1.4 线性函数方程——线性方程组的类似和极限情形228

5.2 有限自由度的系统228

5.2.1 简正形振动、简正坐标、运动的普遍理论229

5.2.2 振动系统的一般性质232

5.3 弦的振动232

5.3.1 均匀弦的自由运动233

5.3.2 受迫振动235

5.3.3 一般的不均匀的弦和施图姆-刘维尔本征值问题236

5.4 杆的振动239

5.5 膜的振动241

5.5.1 关于均匀膜的一般本征值问题241

5.5.2 受迫运动242

5.5.3 节线243

5.5.4 矩形膜243

5.5.5 圆形膜、贝塞尔函数245

5.5.6 不均匀的膜247

5.6 板的振动248

5.6.1 概述248

5.6.2 圆形边界248

5.7 关于本征函数法的一般性问题249

5.7.1 振动及平衡问题249

5.7.2 热传导及本征值问题252

5.8 三维连续体的振动、分离变数法253

5.9 本征函数和势论中的边值问题254

5.9.1 圆、球、球壳254

5.9.2 柱形区域257

5.9.3 拉梅问题257

5.10 施图姆-刘维尔型问题、奇异边界点261

5.10.1 贝塞尔函数261

5.10.2 任意阶的勒让德函数262

5.10.3 雅可比及切比雪夫多项式264

5.10.4 埃尔米特及拉盖尔多项式264

5.11 施图姆-刘维尔方程解的渐近行为266

5.11.1 当自变数趋向无穷时解的有界性267

5.11.2 更确切一点的结果（贝塞尔函数）267

5.11.3 当参数增大时的有界性269

5.11.4 解的渐近表示270

5.11.5 施图姆-刘维尔本征函数的渐近表示271

5.12 具有连续谱的本征值问题273

5.12.1 三角函数274

5.12.2 贝塞尔函数274

5.12.3 无穷平面的膜振动方程的本征值问题274

5.12.4 薛定谔本征值问题275

5.13 微扰理论277

5.13.1 单重本征值277

5.13.2 重本征值279

5.13.3 微扰理论的一例281

5.14 格林函数（影响函数）及化微分方程为积分方程282

5.14.1 格林函数及常微分方程的边值问题283

5.14.2 格林函数的构造、广义格林函数285

5.14.3 微分方程和积分方程的等价288

5.14.4 高阶常微分方程290

5.14.5 偏微分方程292

5.15 格林函数的例子297

5.15.1 常微分方程297

5.15.2 对圆和球△u的格林函数302

5.15.3 格林函数和保角映射302

5.15.4 在球面上的势方程的格林函数303

5.15.5 直角平行六面体中△u=0的格林函数303

5.15.6 矩形内△u的格林函数308

5.15.7 圆形环的格林函数310

5.16 补充材料311

5.16.1 弦振动的例子311

5.16.2 自由悬挂的绳的振动、贝塞尔函数313

5.16.3 振动方程明显解的例子、椭圆柱函数314

5.16.4 含有参数的边界条件315

5.16.5 微分方程组的格林张量315

5.16.6 方程△u＋λu=0解的解析延拓316

5.16.7 关于△u＋λu=0解的节线的定理317

5.16.8 无穷重数的本征值的例317

5.16.9 展开定理的有效范围317

参考文献317

第6章 变分法在本征值问题上的应用319

6.1 本征值的极值性质319

6.1.1 经典的极值性质319

6.1.2 推广322

6.1.3 当区域具有分隔组成部分时的本征值问题325

6.1.4 本征值的极大-极小性质325

6.2 由本征值的极值性质所得的一般结论326

6.2.1 一般定理326

6.2.2 本征值的无限增大330

6.2.3 施图姆-刘维尔问题中本征值的渐近性质331

6.2.4 奇异微分方程332

6.2.5 关于本征值增大的进一步讨论、负本征值的出现333

6.2.6 本征值的连续性335

6.3 完备性和展开定理339

6.3.1 本征函数的完备性339

6.3.2 展开定理341

6.3.3 展开定理的推广342

6.4 本征值的渐近分布343

6.4.1 在矩形上的方程344

6.4.2 在有限多个方形或立方体所作成的区域上的方程△u＋λu=0345

6.4.3 把结果推广于一般的微分方程L［u］＋λpu=0347

6.4.4 对任意区域本征值的渐近分布349

6.4.5 对微分方程△u＋λu=0而言本征值的渐近分布规律较精确的形式354

6.5 薛定谔型的本征值问题355

6.6 本征函数的节360

6.7 补充材料和问题364

6.7.1 本征值的极小性质、由完备性所作的推导364

6.7.2 用没有节这个性质来刻画第一个本征函数365

6.7.3 本征值的另外一些极小性质366

6.7.4 本征值的渐近分布367

6.7.5 双参数本征值问题367

6.7.6 包含参数的边界条件367

6.7.7 闭曲面的本征值问题368

6.7.8 当有奇点出现时本征值的估计368

6.7.9 板和膜的极小定理369

6.7.10 双质量分布的极小问题369

6.7.11 施图姆-刘维尔问题的节点、极大-极小原理369

参考文献370

第7章 本征值问题所定义的特殊函数372

7.1 线性二阶微分方程的初步讨论372

7.2 贝塞尔函数373

7.2.1 积分变换的应用373

7.2.2 汉克尔函数374

7.2.3 贝塞尔函数和诺伊曼函数376

7.2.4 贝塞尔函数的积分表示式378

7.2.5 汉克尔函数和贝塞尔函数的另一积分表示式380

7.2.6 贝塞尔函数的幂级数展开385

7.2.7 各贝塞尔函数间的关系388

7.2.8 贝塞尔函数的零点394

7.2.9 诺伊曼函数397

7.3 勒让德函数401

7.3.1 施拉夫利积分401

7.3.2 拉普拉斯的积分表示式403

7.3.3 第二类勒让德函数403

7.3.4 联属勒让德函数（高阶勒让德函数）404

7.4 应用积分变换方法于勒让德、切比雪夫、埃尔米特及拉盖尔方程405

7.4.1 勒让德函数405

7.4.2 切比雪夫函数406

7.4.3 埃尔米特函数407

7.4.4 拉盖尔函数408

7.5 拉普拉斯球面调和函数409

7.5.1 2n+1个n阶球面调和函数的确定409

7.5.2 函数组的完备性410

7.5.3 展开定理410

7.5.4 泊松积分411

7.5.5 麦克斯韦-西尔维斯特的球面调和函数表示式412

7.6 渐近展开417

7.6.1 斯特林公式417

7.6.2 当变量值大时汉克尔和贝塞尔函数的渐近计算419

7.6.3 马鞍点法421

7.6.4 应用马鞍点法计算大参量和大变量的汉克尔函数和贝塞尔函数422

7.6.5 马鞍点法的一般讨论426

7.6.6 达布方法426

7.6.7 应用达布方法于勒让德多项式的渐近展开427

7.7 附录：球面调和函数的变换429

7.7.1 导言及符号429

7.7.2 正交变换429

7.7.3 球面调和函数的一个母函数432

7.7.4 变换公式434

7.7.5 直角坐标下的表示式435

附加参考文献438

索引443