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第1章 绪论1

1.1数值计算方法的任务与基本方法1

1.2误差及有关概念2

1.2.1误差的来源及分类2

1.2.2误差的描述3

1.3数值计算中的误差传播6

1.3.1基本运算中的误差估计6

1.3.2算法的数值稳定性7

1.4设计算法应注意的问题9

1.4.1避免两个相近的数相减9

1.4.2绝对值太小的数不宜作除数10

1.4.3避免大数“吃”小数的现象10

1.4.4简化计算步骤，提高计算效率11

本章小结11

习题12

第2章 线性方程组的直接解法13

2.1引言13

2.2 Gauss消去法及计算量14

2.2.1 Gauss消去法14

2.2.2 Gauss消去法的计算量17

2.3 Gauss主元素消去法17

2.3.1列主元素法18

2.3.2全主元素法19

2.4矩阵三角分解及其在解方程组中的应用20

2.4.1 Gauss消去过程的矩阵表示20

2.4.2矩阵的三角分解22

2.4.3线性方程组的直接三角分解法25

2.4.4解三对角方程组的追赶法26

2.5平方根法与改进的平方根法29

2.5.1平方根法（Cholesky分解法）30

2.5.2改进的平方根法31

2.6矩阵、向量和连续函数的范数33

2.6.1范数的一般概念33

2.6.2连续函数范数36

2.6.3向量范数36

2.6.4矩阵范数38

2.7线性方程组的误差分析43

2.7.1线性方程组的性态与条件数43

2.7.2线性方程组解的误差估计46

2.8应用实例47

本章小结51

习题51

第3章 解线性方程组的迭代法54

3.1迭代法的基本概念54

3.1.1迭代法的一般形式54

3.1.2向量序列与矩阵序列的收敛性55

3.2几种常用的单步定常线性迭代法56

3.2.1 Jacobi迭代法56

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法59

3.2.3超松弛（SOR）迭代法60

3.3迭代法的收敛条件及误差分析62

3.3.1迭代法的一般收敛条件62

3.3.2几类特殊类型的迭代法收敛性判别64

3.3.3简单迭代法的误差估计69

3.4最速下降法与共轭梯度法70

3.4.1最速下降法70

3.4.2共轭梯度法71

3.5应用实例73

本章小结75

习题75

第4章 矩阵的特征值和特征向量计算78

4.1幂法和反幂法78

4.1.1幂法78

4.1.2幂法的收敛加速82

4.1.3反幂法86

4.2 Jacobi方法87

4.3 QR方法93

4.3.1基本QR方法93

4.3.2 Householder变换95

4.3.3化一般矩阵为拟三角阵96

4.3.4拟上三角矩阵的QR分解97

4.3.5带原点移位的QR方法——QR加速收敛方法100

4.4广义特征值问题的计算方法100

4.5应用实例101

本章小结103

习题103

第5章 插值法105

5.1多项式插值问题的一般描述106

5.1.1多项式插值问题106

5.1.2插值多项式的误差估计106

5.2几种常用插值多项式求法107

5.2.1 Lagrange插值公式107

5.2.2 Newton插值公式109

5.2.3 Hermite插值117

5.3分段低次插值120

5.3.1分段线性插值121

5.3.2分段三次Hermite插值123

5.3.3三次样条126

5.4应用实例131

本章小结136

习题137

第6章 曲线拟合139

6.1数据拟合的最小二乘法139

6.1.1多项式拟合140

6.1.2可化为多项式拟合类型141

6.1.3线性最小二乘法的一般形式143

6.2正交多项式147

6.2.1正交多项式基本概念与性质147

6.2.2正交多项式一般方法148

6.3函数的最佳平方逼近151

6.4应用实例156

本章小结159

习题159

第7章 数值微分与数值积分161

7.1 Newton-Cotes求积公式161

7.1.1数值积分的基本思想161

7.1.2 Newton-Cotes求积公式162

7.1.3求积公式的误差估计165

7.2复合求积公式168

7.2.1复合梯形公式168

7.2.2复合Simpson公式169

7.2.3复合Cotes公式170

7.2.4复合求积公式的逐次分半算法173

7.3 Romberg求积公式175

7.3.1 Richardson外推法175

7.3.2 Romberg求积公式176

7.4 Gauss型求积公式178

7.4.1 Gauss型求积公式的一般提法178

7.4.2 Gauss点与正交多项式的关系180

7.4.3 Gauss型求积公式的稳定性和收敛性182

7.4.4常用Gauss型求积公式183

7.4.5 Gauss型求积公式余项187

7.5数值微分188

7.5.1插值型求导公式188

7.5.2外推法190

7.5.3用三次样条函数求数值导数191

7.6应用实例191

本章小结193

习题194

第8章 非线性方程和方程组的数值解法197

8.1引言197

8.1.1问题的背景197

8.1.2一元方程的搜索法197

8.1.3二分法198

8.2一元方程的基本迭代法200

8.2.1基本迭代法及其收敛性200

8.2.2局部收敛性和收敛阶203

8.2.3收敛性的改善——Steffensen迭代法206

8.3一元方程Newton迭代法207

8.3.1 Newton迭代法及其收敛性207

8.3.2重根时的Newton迭代改善210

8.3.3离散Newton法211

8.4非线性方程组的解法212

8.4.1不动点的迭代法212

8.4.2 Newton迭代法216

8.4.3最速下降法219

8.5应用实例220

本章小结221

习题221

第9章 常微分方程数值解法223

9.1 Euler方法与改进的Euler方法224

9.1.1 Euler方法224

9.1.2 Euler方法的误差估计226

9.1.3改进的Euler方法227

9.2 Runge-Kutta法229

9.3单步法的稳定性233

9.3.1相容性与收敛性233

9.3.2稳定性235

9.4线性多步法237

9.4.1线性多步公式的导出237

9.4.2常用的线性多步公式238

9.4.3预测-校正系统241

9.5一阶微分方程组与高阶方程的数值解法245

9.5.1一阶微分方程组的数值解法245

9.5.2高阶微分方程的数值解法246

9.5.3差分方程解常微分方程边界问题247

9.6应用实例248

本章小结251

习题252

第10章 瞬时扩散方程的差分解法简介255

10.1引言255

10.2差分格式建立256

10.2.1显式格式256

10.2.2隐式格式256

10.2.3 Crank-Nicolson格式257

10.3局部截断误差与收敛性259

10.3.1局部截断误差259

10.3.2差分格式的收敛性260

10.4应用实例263

习题266

参考文献267

附录Matlab软件简介268