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第一章 电磁现象的普遍规律1

1.1 推导梯度、散度和旋度的表达式1

1.2 推导？2φ的表达式2

1.3 证明？2（uv）＝v？ 2u＋u？ 2v＋2（？u）·（？v）2

1.4 求？2F［u（r）］3

1.5 证明三个公式：？ （f·g） ，？·（f×g）和？×（f×g）4

1.6 证明？×（？×f）＝？（？·f）－？2f8

1.7 证明∫vdV？×vf＝∮sdSs×f9

1.8 证明∫sdS×s？φ＝∮Lφdl9

1.9 证明∮L（a×r）·dlL＝2∫sa·dS10

1.10 错用斯托克斯公式10

1.11 用δ函数表示电荷量密度10

1.12 求δ函数表示电偶极矩的电荷量密度13

1.13 证明dp／dt＝∫Vj（r’，t）dV’14

1.14 证明？×（m×r／r3）＝－？（m·r／r3）15

1.15 求φ＝a·r的E和A＝b×r的B17

1.16 均匀磁场的矢势17

1.17 张量与矢量的点乘19

1.18 证明？·S＋？w／？t＝0及ε为对称张量20

1.19 证明？·T＝ε0［E×（？×E）－E（？·E）］22

1.20 圆柱电容器（CUSPEA题）24

1.21 导电介质内的电荷量密度25

1.22 由麦克斯韦方程组导出电荷守恒定律25

1.23 证明ρp＝（ε0／ε－1）ρ26

1.24 平行板电容器（CUSPEA题）26

1.25 磁单极（CUSPEA题）28

1.26 有磁单极子时的麦克斯韦方程组30

1.27 带有电荷和磁荷的粒子（CUSPEA题）31

1.28 盖革记数器（CUSPEA题）37

1.29 证明格林倒易定理39

1.30 应用格林倒易定理的例子42

1.31 静电平衡时导体上的电荷分布是唯一的43

1.32 电荷在导体上静电平衡时电场能量最小46

1.33 电流在导体内按欧姆定律分布时焦耳热最小48

1.34 引入不带电导体时电场能量减少49

1.35 引入不同介质时电场能量的变化50

1.36 电荷仅受静电力不能达到稳定平衡53

1.37 电偶极子在外电场中受的力53

1.38 电偶极子在外电场中受的力矩54

1.39 两电偶极子间的电势能和作用力54

1.40 用麦克斯韦应力张量计算两电荷间的力58

1.41 带电粒子在静电场中的运动61

1.42 电子在E⊥B的场中运动的轨迹61

1.43 电子在E⊥B的场中运动63

1.44 电力线与介质交界面的夹角64

1.45 电流密度J的边值关系66

1.46 E穿过电偶极层时连续66

1.47 进入载流导线的S＝E×H66

1.48 平行板电容器充放电时的S67

1.49 载流螺线管电流变化时的S68

1.50 同轴电缆传输的功率70

1.51 δ函数的电荷所产生的电势71

1.52 电偶极子的φ和E72

1.53 斜置电偶极子的φ和E73

1.54 原点外的电偶极子的φ和E74

1.55 一段直线电荷的φ76

1.56 基态氢原子的φ和E77

1.57 基态氢原子电子云的静电能78

1.58 电荷分布在外电场中的电势能79

1.59 平行输电线的A和B80

1.60 圆环电流的A和B82

1.61 均匀圆盘电荷旋转时的A和B85

1.62 均匀球体电荷旋转时的A和B86

1.63 用毕奥-萨伐尔定律计算圆环电流的B89

1.64 椭圆电流中心的B92

1.65 两共轴圆环电流间的安培力94

1.66 两共轴圆环间的互感96

1.67 用电流密度表示磁场能量97

1.68 永磁体的磁场（CUSPEA题）98

1.69 安培环路定理的证明100

1.70 公式的证明102

第二章 静电场和静磁场105

2.1 由已知电势求电荷分布105

2.2 证明无电荷处电势不能为极值106

2.3 平行板电容器中的电势107

2.4 由电荷分布求电势108

2.5 证明导体表面附近1／E ？E／？n＝（1／R1＋1／R2）109

2.6 电荷在导体椭球面上的分布110

2.7 带电导体椭球的面电荷密度与主曲率半径的关系112

2.8 等势面族的条件115

2.9 导体薄圆盘上电荷量的面密度119

2.10 平行导体板间有带电线，求电势120

2.11 长方形空间给定边界条件，求电势123

2.12 无限长矩形空腔内的电势125

2.13 导体球放入外电场中，求电势等127

2.14 导体球放入外电场中（CUSPEA题）129

2.15 介质球放入外电场中，求电势等130

2.16 介质球在外电场中分成两半时受的静电力134

2.17 介质球外一点电荷，求电势137

2.18 驻极体球的电势139

2.19 介质内球形空腔中的电势141

2.20 导体球壳内有电偶极子，求电势142

2.21 介质球中心有电偶极子，求电势144

2.22 金属球壳间两半不同介质，求电势146

2.23 导体半球放在带电导体平面上149

2.24 地面电场拉起导体半球的条件151

2.25 电解液中有导体球，求电流分布151

2.26 球面两半电势不同，求球内外电势155

2.27 两共顶圆锥面电势不同，求电势等158

2.28 均匀带电圆环的电场强度159

2.29 均匀带电圆环的电势163

2.30 均匀带电圆盘的电势169

2.31 轴线上的电势等于柱面电势的平均175

2.32 证明静电势的平均值定理176

2.33 导体圆柱横放在外电场中，求电势178

2.34 介质圆柱横放在外电场中，求电场180

2.35 介质圆柱横放在外电场中，求电势181

2.36 带电导体圆柱外一半真空一半介质183

2.37 给定圆柱面上的电势，求柱内电势186

2.38 导体圆筒两半电势不同，求电势187

2.39 圆筒两半电势为U1和U2，求筒内电势189

2.40 圆筒分四等片，电势不同，求筒内电势192

2.41 圆筒分四等片，电势不同，求筒内电势194

2.42 给定圆筒底面和侧面的电势，求筒内电势196

2.43 给定圆筒底面和侧面的电势，求筒内电势198

2.44 两导体平面夹角中的电势200

2.45 两导体平面夹一导体柱面，求电势202

2.46 导体上锥形坑内和锥形峰附近的电势206

2.47 导体平面外一点电荷，求电势等210

2.48 将电荷从导体平面移开所需做的功211

2.49 导体平面有一鼓包，上有点电荷，求电势等213

2.50 导体平面外一电偶极子，求电场等215

2.51 电偶极子在导体平面外受的力217

2.52 两平行导线间单位长度的电容219

2.53 导体平面与平行导线间的电容224

2.54 导体圆柱外有平行的线电荷，求电势等226

2.55 导体球外有一点荷，求电势等227

2.56 导体球形空腔内一点电荷，求电势230

2.57 金属球壳内外点电荷之间的库仑力232

2.58 球形放电器击穿电压的近似值233

2.59 半无限大介质外一点电荷，求电势235

2.60 写出上半空间的格林函数，并用来求电势237

2.61 电荷球对称分布时的p和Q239

2.62 电荷轴对称分布时的p和Q240

2.63 电荷分布在一段直线上，求电势241

2.64 一段线电荷对中点和端点的p和Q243

2.65 均匀带电圆环在远处的电势245

2.66 带电圆环的电偶极矩和电四极矩246

2.67 由电四极矩的电势求电场强度247

2.68 线性电四极子的电势248

2.69 平面电四极子的电势250

2.70 平面电四极子斜置时的电四极矩253

2.71 球面电荷旋转时的磁场254

2.72 介质球放入外磁场中，求磁场259

2.73 介质球放入外磁场中（CUSPEA题）261

2.74 均匀磁化球的φm和B265

2.75 均匀磁化球的A和B266

2.76 中子星磁场的极限值270

2.77 铁磁球放入磁介质中，求磁场等272

2.78 介质圆柱横向磁化时的磁场274

2.79 磁棒在远处产生的磁场276

2.80 有限长载流螺线管的磁场276

2.81 介质圆柱横放在外磁场中，求磁场278

2.82 两磁偶极子的平衡位置280

第三章 电磁波的传播281

3.1 均匀介质中麦克斯韦方程的两组解281

3.2 由平面单色波的E求H、w和S282

3.3 两个线偏振的电磁波的叠加283

3.4 无色散介质中的能流速度等于相速285

3.5 电磁波在导电介质中的阻抗285

3.6 赫兹矢量和它所满足的方程286

3.7 晶体光学的第一基本方程与离散角288

3.8 晶体光学的第二基本方程与线偏振289

3.9 主速度的物理意义292

3.10 各向并性晶体内光的电场强度的方向293

3.11 晶体光学中相速度的菲涅耳方程296

3.12 电磁波反射和折射时的规律298

3.13 反射波和透射波的振幅和能流密度299

3.14 电磁波经过介质交界面时能量守恒301

3.15 电磁波的反射率、透射率和光压304

3.16 平面电磁波的反射率和偏振状态306

3.17 虹的偏振度307

3.18 虹霓在雨点内的反射都不是反射311

3.19 线偏振波经全反射后的偏振状态312

3.20 在布儒斯特角附近的反射率315

3.21 两介质交界面上反射波的振幅317

3.22 圆偏振波入射到介质平面上，求反射波和折射波319

3.23 导电介质中电磁波的相速度及相位321

3.24 折射入导电介质内的电磁波及穿透深度324

3.25 电磁波射入海水的深度326

3.26 电磁波从海水到空气的全反射328

3.27 导体内电磁波能量全变成焦耳热329

3.28 电磁波射到导体表面产生的压强330

3.29 导电介质对线偏波的反射331

3.30 金属反射电磁波时产生的相位差334

3.31 圆柱形导线中交变电流的趋肤效应337

3.32 增透膜的厚度340

3.33 法布里-珀罗干涉仪（CUSPEA题）343

3.34 透过银箔的电磁波345

3.35 用纵向分量表示矩形波导管中的场347

3.36 用纵向分量表示圆柱波导管中的场348

3.37 金属波导管不能传播TEM波349

3.38 理想导体壁的矩形波导管349

3.39 矩形波导管中的TE10波351

3.40 矩形波导管中TE10波的最大功率353

3.41 波导管中TE10波磁场的偏振状态354

3.42 黄铜管内TE10波的衰减356

3.43 平行金属板间的电磁波（CUSPEA题）359

3.44 圆柱波导管内电磁场的纵向分量360

3.45 圆柱波导管内的TE波362

3.46 圆柱波导管内的TM波364

3.47 同轴传输线内的TEM波365

3.48 矩形谐振腔内TE101波的场和能量369

3.49 矩形谐振腔内TE101波的衰减370

3.50 矩形谐振腔内单位体积的场模数373

3.51 圆柱形谐振腔内的电磁场374

3.52 圆柱形谐振腔内的TE111，TE011和TM010模378

3.53 圆孔的夫琅禾费衍射381

第四章 电磁波的辐射386

4.1 波动方程的格林函数与它的解386

4.2 波动方程的格林函数（CUSPEA题）388

4.3 验证推迟势满足洛伦兹条件390

4.4 证明推迟势满足非齐次波动方程392

4.5 求？t’／？t和？t’394

4.6 振动电偶极子的辐射394

4.7 沿x轴振动的电偶极子的辐射398

4.8 在原点附近振动的电偶极子的辐射400

4.9 旋转电偶极子的辐射402

4.10 振动的线性电四极子的辐射404

4.11 振动的平面电四极子的辐射407

4.12 导体平面外振动的电偶极子的辐射410

4.13 平面电四极子绕轴旋转时的辐射414

4.14 两个旋转电偶极子的辐射418

4.15 振动的圆环电流的矢势421

4.16 圆环形天线的辐射422

4.17 振动的圆环电流的辐射强度424

4.18 旋转永磁体的辐射424

4.19 磁矩转动时的辐射426

4.20 绕直径旋转的圆环电流的辐射428

4.21 天线辐射的磁场公式429

4.22 电偶极子型天线的辐射430

4.23 电偶极子型天线赤道范围内的辐射431

4.24 短天线的辐射432

4.25 半波天线的辐射433

4.26 整数倍半波天线的辐射（同相馈送）435

4.27 整数倍全波天线的辐射（反相馈送）440

4.28 两共线电偶极子型天线的辐射442

4.29 随时间变化的平面电流的电磁场443

4.30 做简谐振动的平面电流的电磁波445

4.31 带电粒子加速运动时单位立体角的辐射功率446

4.32 带电粒子简谐振动时单位立体角的辐射功率448

4.33 带电粒子加速运动时的辐射功率452

4.34 辐射场中电场强度的方均根值456

4.35 低速带电粒子辐射场Ea的公式457

4.36 轫致辐射458

4.37 带电粒子做简谐振动时的辐射459

4.38 带电粒子做圆周运动时的辐射461

4.39 两相同点电荷做圆周运动时的辐射465

4.40 正负带电粒子互相环绕时的辐射468

第五章 狭义相对论469

5.1 普遍的洛伦兹变换469

5.2 两个相继的洛伦兹变换470

5.3 洛伦兹变换中的球面问题472

5.4 膨胀球面运动时的形状及有关问题473

5.5 被测量者如何看待别人的测量475

5.6 两事件的空间距离和时间差477

5.7 小球从车厢后壁到前壁的时间477

5.8 火车穿过山洞的时间479

5.9 火车进站的时刻480

5.10 地球两极与赤道的年龄差482

5.11 运动的μ子的平均寿命482

5.12 两事件的原时间隔483

5.13 宇宙飞船与地球间的通信483

5.14 证明（u＋v）／（1＋uv／c2）＜c485

5.15 三个宇宙飞船的相对速度485

5.16 光信号在两飞船间飞行的时间486

5.17 一飞船抛物到另一飞船（CUSPEA题）487

5.18 光在流水中的速度488

5.19 光在液体中进行的时间489

5.20 推导普遍的速度变换式491

5.21 证明速度关系式492

5.22 垂直运动的两物体的相对速度494

5.23 沿直线运动的粒子的加速度499

5.24 加速度的变换式500

5.25 普遍的加速度变换式502

5.26 飞船加速运动飞过的距离（CUSPEA题）505

5.27 证明洛伦兹变换矩阵元aμαaμβ＝δαβ506

5.28 洛伦兹变换下体积元的变换507

5.29 证明电荷是洛伦兹不变量509

5.30 证明dxμdxμ和？／？xμ ？／？xμ的洛伦兹不变性509

5.31 证明波动方程为洛伦兹不变式511

5.32 证明AμBμ和？Vμ／？xμ均为洛伦兹不变量512

5.33 证明洛伦兹条件是洛伦兹不变式512

5.34 立体角元的变换式513

5.35 证明ω2dΩ是洛伦兹不变量514

5.36 光行差515

5.37 光的颜色与飞船的速度516

5.38 运动原子发光的波长517

5.39 运动的平面镜反射光（CUSPEA题）518

5.40 在电荷看来它只受电场的作用力520

5.41 静磁场的变换521

5.42 静电场不能变换成纯粹磁场522

5.43 B⊥E的电磁波在任何惯性系都如此522

5.44 宇宙线质子在地磁场中受的力523

5.45 麦克斯韦方程组的洛伦兹不变性523

5.46 旋转磁化球的电场等（CUSPEA题）528

5.47 载流回路运动时的电荷和电偶极矩530

5.48 运动的导电介质中的电流密度531

5.49 运动电荷的电磁场532

5.50 带电直线匀速运动时的电磁场537

5.51 电荷在导体平面外运动时的电磁场539

5.52 两运动电荷间的力540

5.53 两同速平行运动的电荷间的力541

5.54 带电粒子在磁场中运动的速度543

5.55 电子在均匀电场中运动的轨迹544

5.56 自由电子不能辐射或吸收光子546

5.57 原子核发射或吸收光子的频率547

5.58 运动原子核的β衰变548

5.59 加速器产生反质子的条件549

5.60 加速器产生反质子（CUSPEA题）550

5.61 证明带电粒子的辐射功率是洛伦兹不变量552

5.62 用粒子的动量表示它的速度等553

5.63 由质子、中子的能量求速度和动量554

5.64 两物体的完全非弹性碰撞555

5.65 两物体的完全非弹性碰撞556

5.66 两粒子碰撞，从实验室系到质心系的变换558

5.67 静止粒子衰变，碎片的能量和动能560

5.68 Λ0→P＋π－，求路程和夹角562

5.69 运动的π＋衰变前后各粒子的能量564

5.70 探测超新星爆发的中微子（CUSPEA题）566

5.71 大小相等的力产生的加速度不同568

5.72 由拉格朗日量求运动方程569

第六章 带电粒子与电磁场的相互作用571

6.1 带电粒子飞过固定电荷的能量损失571

6.2 经典氢原子的寿命572

6.3 μ－子被质子俘获（CUSPEA题）574

6.4 带电粒子高速回旋时的能量575

6.5 电子回旋时能量损失率（CUSPEA题）578

6.6 切连科夫辐射（CUSPEA题）580

6.7 辐射压力与引力平衡583

6.8 等离子体的折射率584

6.9 电磁波入射到等离子体（CUSPEA题）587

6.10 等离子体内传播的电磁波（CUSPEA题）588

6.11 由射电噪音求电子密度（CUSPEA题）590

6.12 天空蓝色的解释591

6.13 自由电子散射电磁波593

6.14 带电的自由粒子对电磁波的散射595

6.15 振动的带电粒子对电磁波的散射597

6.16 介质小球对电磁波的散射599

6.17 导体小球对电磁波的散射601

6.18 导体圆柱对电磁波的散射604

6.19 康普顿效应606

6.20 线偏振的电磁波使基态氢原子电离608

6.21 法拉第效应（CUSPEA题）610

6.22 塞曼效应的经典理论613

6.23 电磁波在色散介质中的传播618

6.24 X射线射到石墨上的临界角619

6.25 超导体内的磁感强度620

6.26 超导平板内的磁感强度621

6.27 超导圆柱内的磁感强度623

数学附录626

Ⅰ 矢量的运算公式和定理626

Ⅱ 正交坐标系中梯度、散度、旋度以及？ 2φ和？2 A的表达式627

Ⅲ 三种常用坐标系的基矢偏导数630

Ⅳ 常用的坐标变换631

Ⅴ 球坐标系中两位矢间的夹角632

Ⅵ 勒让德多项式632

Ⅶ 贝塞耳函数633

Ⅷ 张量基础知识636

Ⅸ 椭圆积分640

基本物理常数643

主要参考书目644