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第1章 三维欧氏空间中二维流形上的张量分析1

1.1曲线坐标系1

1.1.1度量张量3

1.1.2向量的物理分量4

1.1.3弧微分5

1.1.4体元和面元5

1.1.5坐标变换6

1.2张量场和张量场微分学7

1.2.1度量张量7

1.2.2 Christoffel记号11

1.2.3张量场微分学14

1.2.4绝对微分和协变导数14

1.2.5 绝对微分的基本性质15

1.2.6度量张量的绝对微分16

1.3 Riemann张量和Riemann空间18

1.3.1 Riemann张量18

1.3.2 Riemann张量性质19

1.3.3 Riemann空间22

1.3.4梯度、散度和旋度26

1.3.5球和圆柱坐标系下的Laplace和迹Laplace算子29

1.4三维欧氏空间中二维曲面上的张量分析32

1.4.1曲面上Gauss坐标系32

1.4.2坐标变换下曲面上张量变换规律33

1.4.3曲面度量张量34

1.4.4行列式张量35

1.4.5 Christoel记号和第二基本型36

1.4.6 Christoel记号性质36

1.4.7曲面第二基本型37

1.4.8曲面第三基本型38

1.4.9曲面上曲线的曲率和曲率半径39

1.4.10曲面的三类基本型之间的关系41

1.4.11曲面上的短程线45

1.5曲面上Riemann曲率张量47

1.5.1协变导数47

1.5.2 Gauss公式48

1.5.3曲率张量48

1.5.4高维欧氏空间低维子流形上混合微分学52

1.5.5 Riemann空间Vn-1中的Gauss方程和Godazzi方程55

1.5.6欧氏空间的体积度量56

1.5.7 Riemann空间的体积度量56

1.5.8曲面面积度量57

1.5.9 Gauss定理59

1.5.10 Green公式60

1.6曲面存在唯一和曲面变形60

1.7 Riemann流形上的Korn不等式69

1.7.1三维欧氏空间E3中曲线坐标系下的Korn不等式71

1.7.2曲面上的Korn不等式73

1.8 S-族坐标系83

1.8.1度量张量87

1.8.2变形张量96

1.8.3弹性系数张量100

1.8.4向量的旋度101

1.8.5 S-族坐标系下的迹Laplace算子102

1.9一个旋转坐标系111

第2章Navier-Stokes方程边界形状控制问题：叶片几何最佳形状125

2.1概述125

2.2叶片几何127

2.3透平内混合边界条件旋转Navier-Stokes方程129

2.4混合边界条件的旋转Navier-Stokes方程解的存在性143

2.5 Gateaux导数及其方程147

2.6边界形状控制问题155

2.7可控性160

2.8叶轮做功率和极小的泛函166

2.9最优控制的数值算法171

2.9.1梯度方法171

2.9.2共轭梯度（CG）算法172

2.9.3 Newton方法174

第3章 航天航空飞行器形状控制问题175

3.1飞行器外形形状控制目标泛函175

3.2控制问题的状态方程177

3.3可压缩流动边界层上的变分问题180

3.4一个新的边界层方程199

3.4.1连续性方程200

3.4.2动量方程201

3.4.3能量方程205

3.4.4截断的Navier-Stokes方程207

3.4.5边界层方程230

3.5最优控制的梯度算法234

3.5.1梯度算法235

3.5.2共轭梯度方法236

3.5.3 Newton方法236

3.6阻力泛函关于边界形状的第一变分237

3.6.1曲面上相关几何量的变化238

3.6.2法向应力的第一变分239

3.7阻力泛函的共轭梯度算法249

3.8计算实例258

3.8.1计算网格和优化工况258

3.8.2优化后曲面比较259

3.8.3升阻力系数259

3.8.4压力分布261

3.8.5表面流线分布261

第4章 三维Navier-Stokes方程维数分裂方法263

4.1 Poisson方程维数分裂方法263

4.1.1方法构造263

4.1.2二维问题有限元逼近276

4.2叶轮通道内Navier-Stokes方程的维数分裂方法279

4.2.1引言279

4.2.2叶轮通道内的Navier-Stokes方程280

4.2.3新坐标系下的旋转Navier-Stokes方程283

4.2.4二维流形？上2D-3C N-S方程294

4.2.5曲面上的压力校正方程297

4.2.6区域分解中的流层和二度并行算法299

4.2.7 2D-3C N-S方程变分问题解的存在性301

4.2.8建立在近似惯性流形基础上的有限元逼近311

4.3外部流动的维数分裂方法319

4.3.1 Navier-Stokes方程与边界积分方程耦合方法319

4.3.2区域分割和交界面上的2D-3C N-S方程324

第五章 建立在变分基础上的三维Navier-Stokes方程维数分裂方法和一个新的边界层方程330

5.1流层中的变分方法330

5.2建立在变分基础上的维数分裂方法381

5.3一个新的边界层方程388

5.3.1引言388

5.3.2带（DF）边界条件的边界层方程389

5.3.3运动边界的边界层方程395

5.3.4解的存在性396

5.4两个旋转球之间和叶轮通道的边界层方程以及球和椭球的外部绕流399

5.4.1两个旋转球之间的边界层方程399

5.4.2球体外部绕流的边界层方程414

5.4.3椭球体外部绕流的边界层方程418

5.4.4叶轮叶片面的边界层方程426

参考文献439

索引441