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第1章 函数1

1.1 预备知识1

1.1.1 常见的实数集与记号1

1.1.2 实数的绝对值2

1.1.3 邻域2

1.1.4 充分必要条件3

1.1.5 常用三角公式3

1.1.6 极坐标5

1.2 函数7

1.3 具有某种特性的函数12

1.3.1 奇（偶）函数12

1.3.2 有界函数13

1.3.3 单调函数13

1.3.4 周期函数14

1.4 反函数14

1.5 复合函数·初等函数15

1.5.1 基本初等函数15

1.5.2 复合函数19

第2章 极限与连续22

2.1 数列极限22

2.1.1 数列的概念22

2.1.2 有界数列的定义23

2.1.3 数列有界的几何意义23

2.1.4 数列单调的定义23

2.1.5 数列极限的直观描述23

2.1.6 数列极限的精确刻画24

2.1.7 数列极限的几何意义26

2.1.8 数列极限的性质26

2.2 函数极限28

2.2.1 自变量x趋于无穷大时函数极限的直观描述30

2.2.2 自变量x趋于有限数时函数极限的直观描述30

2.2.3 单侧极限32

2.2.4 自变量x趋于无穷大时极限的精确刻画（ε-X语言）33

2.2.5 lim x→∞ f（x）=A的几何意义33

2.2.6 自变量趋于有限数时函数极限的精确刻画（ε-δ语言）34

2.2.7 lim x→x0 f（x）=A的几何意义34

2.3 函数极限的性质·函数极限的运算法则36

2.3.1 函数极限的性质36

2.3.2 极限的运算法则36

2.3.3 复合函数的极限运算法则39

2.4 极限的存在准则和两个重要极限41

2.4.1 极限的存在准则41

2.4.2 重要极限之一43

2.4.3 重要极限之二45

2.5 无穷小与无穷大48

2.5.1 无穷大的概念49

2.5.2 无穷小的概念49

2.5.3 收敛变量与其极限的关系50

2.5.4 无穷小与无穷大的关系50

2.5.5 无穷小的性质50

2.5.6 无穷小阶的比较52

2.5.7 “1∞”型极限的简便算法55

2.6 函数的连续性58

2.6.1 函数在一点处的连续性58

2.6.2 单侧连续59

2.6.3 区间连续59

2.6.4 函数的间断点及其类型60

2.6.5 初等函数的连续性63

2.7 闭区间上连续函数的性质65

数学实验一67

第3章 导数与微分73

3.1 导数概念73

3.1.1 导数概念的引入73

3.1.2 导数的定义75

3.1.3 单侧导数77

3.1.4 导数的几何意义80

3.1.5 函数可导与连续的关系81

3.2 求导法则84

3.2.1 四则运算法则84

3.2.2 反函数的求导法则86

3.2.3 复合函数的求导法则88

3.2.4 隐函数的求导法则91

3.2.5 由参数方程所确定的函数的导数94

3.3 高阶导数97

3.3.1 高阶导数的概念97

3.3.2 高阶导数的运算法则100

3.4 函数的微分104

3.4.1 微分的定义104

3.4.2 微分的几何意义106

3.4.3 基本初等函数的微分公式107

3.4.4 函数和、差、积、商的微分法则107

3.4.5 微分形式的不变性108

3.4.6 微分在近似计算中的应用108

数学实验二110

第4章 中值定理与导数的应用114

4.1 中值定理114

4.1.1 罗尔定理114

4.1.2 拉格朗日中值定理116

4.1.3 柯西定理118

4.2 洛必达法则120

4.2.1 洛必达法则Ⅰ（0/0型不定式）121

4.2.2 洛必达法则Ⅱ（∞/∞型不定式）123

4.2.3 其他不定式（0·∞,∞-∞,1∞,00,∞0）124

4.3 函数单调性和凹凸性128

1.3.1 函数单调性的判定法128

4.3.2 确定函数单调区间的步骤129

4.3.3 曲线的凹凸性及其判别法130

4.3.4 确定函数凹凸区间的步骤131

4.4 函数的极值与最值134

4.4.1 函数的极值及其判别条件134

4.4.2 求函数f（x）的极值的步骤136

4.4.3 闭区间上连续函数最值的求法138

4.4.4 最值问题举例138

4.5 不等式的证明141

4.5.1 利用单调性证明不等式141

4.5.2 利用微分中值定理证明不等式142

4.5.3 利用函数的凹凸性证明不等式142

4.5.4 利用函数的极值和最值证明不等式143

4.6 函数图形的描绘144

4.6.1 曲线的渐近线144

4.6.2 函数作图的步骤146

数学实验三147

第5章 不定积分150

5.1 不定积分的概念与性质150

5.1.1 原函数与不定积分的概念150

5.1.2 不定积分的性质153

5.1.3 不定积分的几何意义153

5.1.4 不定积分基本公式154

5.2 换元积分法159

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法）159

5.2.2 第二换元积分法166

5.3 分部积分法175

5.3.1 分部积分法175

5.3.2 循环积分与递推公式178

5.3.3 分部积分速算法179

5.4 几种特殊函数的积分183

5.4.1 有理函数的积分183

5.4.2 三角函数有理式的积分187

5.4.3 简单无理函数的积分192

5.5 积分表的使用方法195

5.5.1 可直接查表的积分195

5.5.2 进行变量代换，再查表196

5.5.3 用递推公式196

第6章 定积分及其应用198

6.1 定积分的概念与性质198

6.1.1 定积分的定义200

6.1.2 定积分的几何意义201

6.1.3 定积分的性质·积分中值定理202

6.2 定积分的计算205

6.2.1 变限函数及其导数205

6.2.2 微积分基本公式208

6.2.3 定积分的换元积分法210

6.2.4 定积分的分部积分法214

6.2.5 定积分的常用结论汇总217

6.3 广义积分221

6.3.1 广义积分的概念222

6.3.2 广义积分的计算223

6.3.3 两个重要的广义积分225

6.4 定积分的应用226

6.4.1 微元法226

6.4.2 平面图形的面积227

6.4.3 旋转体的体积232

6.4.4 平行截面面积为已知的立体的体积234

6.4.5 平面曲线的弧长236

数学实验四239

第7章 空间解析几何与向量代数242

7.1 空间直角坐标系242

7.1.1 空间点的直角坐标242

7.1.2 两点间的距离公式243

7.2 向量及其加减法·数与向量的乘积245

7.2.1 向量的概念245

7.2.2 向量及其加减法246

7.2.3 数与向量的乘积247

7.3 向量的坐标248

7.3.1 向量的坐标248

7.3.2 向量的坐标运算249

7.4 数量积·向量积·混合积253

7.4.1 向量的数量积253

7.4.2 数量积的坐标表示254

7.4.3 向量的向量积255

7.4.4 向量积的坐标表示256

7.4.5 向量的混合积258

7.4.6 混合积的坐标表示259

7.5 平面及其方程261

7.5.1 平面的方程及其方程的几种类型261

7.5.2 两平面的位置关系265

7.5.3 点到平面的距离265

7.6 空间直线及其方程268

7.6.1 直线方程的几种类型268

7.6.2 两直线的夹角272

7.6.3 直线与平面的位置关系272

7.6.4 点到直线的距离273

7.6.5 杂例275

7.7 曲面及其方程278

7.7.1 一般曲面278

7.7.2 旋转曲面278

7.7.3 柱面280

7.7.4 二次曲面281

7.8 空间曲线及其方程290

7.8.1 空间曲线的一般方程290

7.8.2 空间曲线的参数方程291

7.8.3 空间曲线在坐标面上的投影291

数学实验五294

习题参考答案298

附录326

附录1 常用的初等数学公式326

附录2 积分表329

附录3 Mathematica简介337

参考文献349