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第1章 行列式1

1.1 二阶和三阶行列式1

1.1.1 二阶行列式1

1.1.2 三阶行列式2

1.1.3 二阶与三阶行列式的关系3

1.2 n阶行列式5

1.2.1 n阶行列式的定义5

1.2.2 n阶行列式展开定理6

1.3 行列式的性质7

1.4 行列式的计算10

1.5 克拉默法则15

习题118

第2章 矩阵22

2.1 矩阵的概念22

2.1.1 矩阵的定义23

2.1.2 一些特殊的矩阵24

2.2 矩阵的运算24

2.2.1 矩阵的线性运算24

2.2.2 矩阵的乘法26

2.2.3 方阵的幂29

2.2.4 矩阵的转置30

2.2.5 方阵的行列式32

2.3 逆矩阵34

2.3.1 逆矩阵的概念34

2.3.2 矩阵可逆的充分必要条件34

2.3.3 可逆矩阵的性质37

2.4 矩阵分块38

2.4.1 分块矩阵的基本运算38

2.4.2 分块对角矩阵39

2.4.3 按行分块矩阵和按列分块矩阵41

2.4.4 线性方程组的两种等价记法43

2.5 矩阵的初等变换44

2.5.1 矩阵的初等变换45

2.5.2 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵46

2.5.3 用初等变换求逆矩阵48

2.5.4 用初等变换求解矩阵方程49

2.6 矩阵的秩51

习题255

第3章 线性方程组59

3.1 线性方程组的解59

3.1.1 线性方程组的概念59

3.1.2 线性方程组有解的判别法60

3.2 n维向量及向量组的线性组合65

3.2.1 向量组与矩阵65

3.2.2 线性组合与线性表示66

3.2.3 向量组的等价69

3.3 向量组的线性相关性70

3.3.1 线性相关性概念70

3.3.2 线性相关性的判定72

3.4 向量组的秩74

3.4.1 向量组的最大线性无关组74

3.4.2 向量组的最大线性无关组的求法75

3.5 向量空间78

3.5.1 向量空间与子空间78

3.5.2 向量空间的基与维数80

3.6 齐次线性方程组解的结构81

3.6.1 齐次线性方程组解的性质81

3.6.2 齐次线性方程组解的结构81

3.7 非齐次线性方程组解的结构88

3.7.1 非齐次线性方程组解的性质88

3.7.2 非齐次线性方程组解的结构88

习题390

第4章 相似矩阵与二次型93

4.1 正交矩阵93

4.1.1 向量的内积93

4.1.2 n维向量的长度和夹角94

4.1.3 向量组的正交性94

4.1.4 正交矩阵与正交变换97

4.2 矩阵的特征值与特征向量98

4.2.1 特征值与特征向量99

4.2.2 特征值和特征向量的性质101

4.3 相似矩阵103

4.3.1 相似矩阵的概念与性质103

4.3.2 方阵的对角化104

4.3.3 实对称矩阵的对角化106

4.4 二次型109

4.4.1 二次型的概念及其矩阵109

4.4.2 化二次型为标准形111

4.5 正定二次型114

4.5.1 正定二次型的定义114

4.5.2 正定二次型的判别114

习题4116

第5章 线性空间与线性变换118

5.1 线性空间118

5.1.1 线性空间的定义和例子118

5.1.2 线性空间的简单性质119

5.1.3 子空间120

5.2 基、维数与坐标120

5.2.1 线性空间的基与维数120

5.2.2 坐标121

5.2.3 同构122

5.3 基变换与坐标变换公式122

5.3.1 基变换与过渡矩阵122

5.3.2 坐标变换123

5.4 线性变换及其矩阵125

5.4.1 线性变换及其性质125

5.4.2 线性变换的矩阵表示126

习题5130

第6章 线性代数与Mathematica132

参考答案137

参考文献146